Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
e^0,07

Passo 1

Queremos aproximar e^0,07 usando o polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x)=e^x em torno de a=0 e estimar o erro pelo resto de Lagrange.

Passo 2

O polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x)=e^x em torno de 0 é dado por:
P2(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x^2=1+x+x^22

Passo 3

Substituindo x=0,07 em P2(x) obtemos:
P2(0,07)=1+0,07+(0,07)^22=1+0,07+0,00492=1,07245

Passo 4

Pelo teorema do resto de Lagrange, existe xi entre 0 e 0,07 tal que o erro é
R2(0,07)=f^(3)(xi)3!(0,07)^3=e^xi6(0,07)^3
Como e^x é crescente, e^xi<= e^0,07, então
|R2(0,07)|<= e^0,076(0,07)^3

Passo 5

Calculando a cota de erro, temos (0,07)^3=0,000343 e
|R2(0,07)|<= e^0,07cdot0,0003436approx 1,073times0,00005717approx0,0000614
Portanto, o erro é menor que 6,2times10^-5.

Resposta

e^0,07approx1,07245 com erro estimado |R2|<6,2times10^-5.

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