Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
arctg(0,09)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar arctg(0,09) usando o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x0=0 e estimar o erro pelo resto de Lagrange. Vamos precisar da definição de derivadas de arctan x e da fórmula do resto.

Passo 2

Definimos f(x)=arctan x. Calculamos as derivadas em 0:
f'(x)=11+x^2, f'(0)=1;
f''(x)=-2x(1+x^2)^-2, f''(0)=0

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de 0 é
P2(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2x^2=0+1cdot x+0= x

Passo 4

A fórmula do resto de Lagrange de ordem 2 diz que existe xi entre 0 e x tal que
R2(x)=f^(3)(xi)3!,x^3

Passo 5

Precisamos de f^(3)(x). Derivando f''(x) obtemos
f^(3)(x)=6x^2-2(1+x^2)^3

Passo 6

Para 0<=xi<=0,09 temos |6xi^2-2|<=2 e (1+xi^2)^3>=1, logo
|f^(3)(xi)|<=2

Passo 7

Logo o erro satisfaz
|R2(0,09)|<=26,(0,09)^3=13,0,000729=0,000243

Resposta

arctg(0,09)approx0,09, com erro menor que 2,43times10^-4.

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