Use o polinômio de Taylor de ordem 2 e a fórmula de Taylor com resto de Lagrange para calcular um valor aproximado para cada um dos números abaixo, estimando o erro:
ln (1,001)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar ln(1,001) usando o polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em a=1 e estimar o erro via resto de Lagrange. Vamos usar a função f(x)=ln x e suas derivadas até a terceira ordem para montar o polinômio e o termo de resto.

Passo 2

Calcula-se as derivadas de f(x)=ln x:
f'(x)=1x, f''(x)=-1x^2, f'''(x)=2x^3
Avaliando em a=1 temos
f(1)=0, f'(1)=1, f''(1)=-1

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de x=1 para x=1+h é
P2(1+h)=f(1)+f'(1)h+f''(1)2h^2 =0+1cdot h -12h^2 = h - h^22

Passo 4

Como queremos ln(1,001), tomamos h=0,001. Então
P2(1,001)=0,001 - (0,001)^22=0,001 - 0,0000005 = 0,0009995

Passo 5

Para estimar o erro, usamos o resto de Lagrange de ordem 3:
R2(h)=f'''(xi)3!h^3, xiin(1,1,001)
Como f'''(x)=2/x^3 e em [1,1,001] temos f'''(x)<=2, segue
|R2|<=26(0,001)^3=2times10^-96=3,33times10^-10

Passo 6

Portanto, a aproximação de ln(1,001) é
ln(1,001)approx0,0009995
e o erro máximo está estimado em 3,33times10^-10.

Resposta

ln(1,001)approx0,0009995, com erro <=3,33times10^-10.

Exercícios relacionados