Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{2}^{\frac{1}{x}} \arctan (t) d t

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\int_{2}^{\frac{1}{x}} \arctan(t)\,dt
e pede a derivada g'(x). Informações relevantes que temos: o integrando é \arctan(t); o limite inferior é a constante 2; o limite superior é a função de x dada por \frac{1}{x}. Observação importante: \frac{1}{x} exige que x\neq 0, então só faz sentido falar de g'(x) para x\neq 0.

Passo 2

Vamos usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo (versão útil para derivadas com limite variável). A ideia básica é: se
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então
F'(x)=f(x).
Agora, se o limite superior for uma função u(x) em vez de x, ou seja
H(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt,
aplicamos a mesma ideia junto com a Regra da Cadeia (porque H é composição de F com u). O resultado é
H'(x)=f(u(x))\cdot u'(x).
Intuição curta: um pequeno aumento em x faz o limite superior mudar em u(x+h)-u(x); a variação do integral é aproximadamente f(u(x)) vezes essa mudança, e ao dividir por h e passar ao limite aparece f(u(x))u'(x).

Passo 3

Identificamos no nosso problema f(t)=\arctan(t) e u(x)=\frac{1}{x}. Pela fórmula do passo anterior,
g'(x)=f\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=\arctan\!\big(\tfrac{1}{x}\big)\cdot \frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{x}\right).

Passo 4

Calculamos \frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{x}\right). Escrevendo \tfrac{1}{x}=x^{-1} e usando a regra do poder (x^{n})' = n x^{n-1}, obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(x^{-1}\right) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Substituindo na expressão do passo 3, encontramos
g'(x)=\arctan\!\big(\tfrac{1}{x}\big)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\frac{\arctan\!\left(\tfrac{1}{x}\right)}{x^{2}},
válido para x\neq 0.

Passo 6

Checagem rápida (opcional, para ficar mais seguro): poderíamos reescrever g(x)=-\int_{\frac{1}{x}}^{2}\arctan(t)\,dt (trocar limites inverte o sinal) e aplicar o teorema com limite inferior variável; isso leva ao mesmo resultado após aplicar a regra da cadeia — sinal e derivada de \tfrac{1}{x} combinam para dar o mesmo -\dfrac{\arctan(1/x)}{x^{2}}. Portanto está consistente.

Resposta

g'(x)=-\frac{\arctan\!\left(\tfrac{1}{x}\right)}{x^{2}}

Exercícios relacionados