Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
. Informações relevantes que temos: o integrando é
; o limite inferior é a constante
; o limite superior é a função de
dada por
. Observação importante:
exige que
, então só faz sentido falar de
para
.
Passo 2
Vamos usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo (versão útil para derivadas com limite variável). A ideia básica é: se
então
Agora, se o limite superior for uma função
em vez de
, ou seja
aplicamos a mesma ideia junto com a Regra da Cadeia (porque
é composição de
com
). O resultado é
Intuição curta: um pequeno aumento em
faz o limite superior mudar em
; a variação do integral é aproximadamente
vezes essa mudança, e ao dividir por
e passar ao limite aparece
.
Passo 3
Identificamos no nosso problema
e
. Pela fórmula do passo anterior,
Passo 4
Calculamos
. Escrevendo
e usando a regra do poder
, obtemos
Passo 5
Substituindo na expressão do passo 3, encontramos
válido para
.
Passo 6
Checagem rápida (opcional, para ficar mais seguro): poderíamos reescrever
(trocar limites inverte o sinal) e aplicar o teorema com limite inferior variável; isso leva ao mesmo resultado após aplicar a regra da cadeia — sinal e derivada de
combinam para dar o mesmo
. Portanto está consistente.