Use as proposições 8.12 e/ou 8.13 e prove que
cos (a+b)=cos (a) cos (b)-sen(a) sen(b)

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula do cosseno da soma
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
usando a proposição 8.12. Vamos também usar a fórmula de Euler
e^itheta=cos(theta)+isin(theta)

Passo 2

Pela proposição 8.12 temos a identidade dos exponenciais complexos
e^i(a+b)=e^ia,e^ib

Passo 3

Aplicando a fórmula de Euler em cada termo, escrevemos
e^i(a+b)=cos(a+b)+isin(a+b),
e
e^ia,e^ib =(cos(a)+isin(a))(cos(b)+isin(b)) =cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) +il(sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)r)

Passo 4

Como as duas expressões são iguais, suas partes reais também são iguais. Portanto
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

Resposta

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

Exercícios relacionados