Use as proposições vistas em aula para encontrar a transformada de Laplace das seguintes funções
y(t)=e^t sinh 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
y(t)=e^tsinh(2t)
O conteúdo que vamos usar são duas propriedades clássicas: a transformada de sinh(at) e o “shifting” no eixo s para multiplicação por e^at.

Passo 2

Recordando que
Lsinh(at)(s) =integral0^inftye^-stsinh(at),dt =as^2-a^2,
válido para Re(s)>|a|.
Aqui a=2, logo
Lsinh(2t)(s) =2s^2-4, Re(s)>2

Passo 3

Agora usamos a propriedade de deslocamento no domínio de Laplace:
Le^atf(t)(s) =F(s - a),
onde F(s)=Lf(t)(s).
No nosso caso a=1 e f(t)=sinh(2t), então
Le^tsinh(2t)(s) =2(s-1)^2-4

Passo 4

Basta agora simplificar o denominador:
(s-1)^2-4 =s^2-2s+1-4 =s^2-2s-3 =(s-3)(s+1)
Logo a transformada fica
Le^tsinh(2t)(s) =2s^2-2s-3,
com região de convergência Re(s)>3.

Resposta

Le^tsinh(2t)(s) =2s^2-2s-3, Re(s)>3

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