Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
\sqrt{x y}

Passo 1

O que o enunciado pede: decompor a expressão \sqrt{x y} usando propriedades de raízes.
Informação dada: a única expressão que temos é \sqrt{x y}.

Passo 2

Lembrete sobre definição e notação (bem devagarinho): a raiz quadrada principal de um número não negativo a é denotada por \sqrt{a} e também pode ser escrita como potência a^{1/2}. Ou seja,
\sqrt{a}=a^{1/2},
onde a deve ser maior ou igual a zero para a raiz quadrada real principal existir. Aqui a variável a representa qualquer número real não negativo.

Passo 3

Propriedade essencial de potências que vamos usar: para expoentes iguais, multiplica-se as bases antes de aplicar o expoente, desde que as bases sejam não negativas (para manter tudo real):
(ab)^r = a^r b^r,
onde a\ge0, b\ge0 e r é um número real (no nosso caso r=\tfrac{1}{2}). Essa fórmula é a razão direta para poder “separar” uma raiz do produto em produto de raízes.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: escrevemos a raiz como potência e separamos os fatores:
\sqrt{x y} = (x y)^{1/2} = x^{1/2}\,y^{1/2} = \sqrt{x}\,\sqrt{y},
desde que x\ge0 e y\ge0. Cada passo aqui é apenas reescrever usando a^{1/2} e aplicar (ab)^{1/2}=a^{1/2}b^{1/2}.

Passo 5

Por que a condição x\ge0 e y\ge0 é importante? Porque a propriedade acima vale para números reais não negativos. Um exemplo que mostra o perigo de ignorar isso: para x=-1 e y=-1 tem-se \sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1, mas \sqrt{-1} não é um número real, então \sqrt{-1}\sqrt{-1} não faz sentido em reais. Por isso exigimos x\ge0 e y\ge0.

Passo 6

Dois exemplos numéricos bem simples para fixar:
  • Se x=9 e y=4, então \sqrt{9\cdot4}=\sqrt{36}=6 e \sqrt{9}\,\sqrt{4}=3\cdot2=6. Batem.
  • Se x=\tfrac{1}{4} e y=9, então \sqrt{\tfrac{1}{4}\cdot9}=\sqrt{\tfrac{9}{4}}=\tfrac{3}{2} e \sqrt{\tfrac{1}{4}}\,\sqrt{9}=\tfrac{1}{2}\cdot3=\tfrac{3}{2}. Também batem.

Resposta

\sqrt{x y}=\sqrt{x}\,\sqrt{y}, para x\ge0 e y\ge0.

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