Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
\sqrt[15]{15 x}

Passo 1

O enunciado pede para decompor a expressão \sqrt[15]{15 x} usando propriedades de raízes.
Informações dadas:
  • A expressão a ser trabalhada é \sqrt[15]{15 x}.
  • Não há mais dados numéricos adicionais (apenas a letra x).

Passo 2

O que significa \sqrt[n]{a}?
  • Por definição, \sqrt[n]{a} é o número real y tal que y^n = a.
  • Se n é ímpar (como n=15), a raiz \sqrt[n]{a} está definida para todo a\in\mathbb{R}.
  • Se n fosse par, a raiz real estaria definida apenas para a\ge 0.
    Aqui n=15 é ímpar, portanto \sqrt[15]{15x} faz sentido para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Propriedade básica útil (explicada):
  • Transformação entre radiciação e potenciação:
\sqrt[n]{a}=a^{1/n},
onde n é o índice da raiz e a é o radicando. Aqui a^{1/n} significa "a elevado à potência 1/n".
  • Daí decorre a propriedade do produto:
\sqrt[n]{ab}=(ab)^{1/n}=a^{1/n}b^{1/n}=\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b},
sempre que as expressões estejam definidas (no caso n ímpar, vale para quaisquer a,b reais).

Passo 4

Aplicando a propriedade do produto à expressão dada:
\sqrt[15]{15x}=\sqrt[15]{15}\,\sqrt[15]{x}.
Expliquei: usei \sqrt[15]{ab}=\sqrt[15]{a}\sqrt[15]{b} com a=15 e b=x.

Passo 5

Fatorando 15 em primos e separando mais:
15=3\cdot 5,
logo, usando novamente a propriedade do produto,
\sqrt[15]{15}=\sqrt[15]{3\cdot 5}=\sqrt[15]{3}\,\sqrt[15]{5}.

Passo 6

Juntando os resultados:
\sqrt[15]{15x}=\sqrt[15]{3}\,\sqrt[15]{5}\,\sqrt[15]{x}.

Passo 7

Escrever em notação de potências racionais, que é muitas vezes mais conveniente na prova:
\sqrt[15]{15x}=(15x)^{1/15}=15^{1/15}\,x^{1/15}=3^{1/15}\,5^{1/15}\,x^{1/15}.
Aqui usei a regra geral \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n} com m=1.

Passo 8

Observação prática (como usar isso rápido na prova): se algum dos fatores for uma potência perfeita de expoente múltiplo de 15 (por exemplo a=2^{15} ou se x=y^{15}), pode-se “fazer sair” o fator inteiro da raiz: por exemplo, se x=y^{15} então
\sqrt[15]{15x}=\sqrt[15]{15}\,y.
Isto é útil quando o radicando contém potências exatas do índice da raiz.

Resposta

\sqrt[15]{15x}=\sqrt[15]{15}\,\sqrt[15]{x}=\sqrt[15]{3}\,\sqrt[15]{5}\,\sqrt[15]{x}=15^{1/15}\,x^{1/15}=3^{1/15}\,5^{1/15}\,x^{1/15}

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