Use qualquer método para calcular o limite ou determine que ele não existe.
lim(x,y) (0,0) x^2-y^2raizx^2+y^2

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função x^2-y^2raizx^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro da matéria de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar limites usando diferentes caminhos de aproximação e, possivelmente, coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite aproximando (x, y) a (0,0) por diferentes caminhos. Se o resultado for o mesmo em todos os caminhos, o limite existe e é esse valor. Se der valores diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar com o caminho mais simples: y = 0. Substituindo na função, temos:
x^2-0^2raizx^2+0^2 = x^2|x| = |x|
Quando x se aproxima de 0, |x| também se aproxima de 0. Então, pelo caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho: y = x. Substituindo na função:
x^2-x^2raizx^2+x^2 = 0raiz2x^2 = 0
Aqui, o limite também é 0.

Passo 5

Para garantir que o limite é 0 de verdade, vamos usar coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta. Substituindo na função:
(r costheta)^2 - (r sintheta)^2raiz(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2(cos^2theta - sin^2theta)r = r (cos^2theta - sin^2theta)
Como r se aproxima de 0, o termo r (cos^2theta - sin^2theta) também se aproxima de 0, independente do valor de theta.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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