Use qualquer método para calcular o limite ou determine que ele não existe.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro da matéria de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar limites usando diferentes caminhos de aproximação e, possivelmente, coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite aproximando
a
por diferentes caminhos. Se o resultado for o mesmo em todos os caminhos, o limite existe e é esse valor. Se der valores diferentes, o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar com o caminho mais simples: y = 0. Substituindo na função, temos:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho: y = x. Substituindo na função:
Aqui, o limite também é 0.
Passo 5
Para garantir que o limite é 0 de verdade, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Como
se aproxima de 0, o termo
também se aproxima de 0, independente do valor de
.
Resposta
O limite existe e é igual a 0.