Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação
. Esboce do gráfico de
.
Determine a inversa de
(se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
Passo 1
Neste exercício, temos a função f(x)=x^2−4x+6. Vamos usar completar o quadrado para resolver f(x)=0, em seguida esboçar seu gráfico e por fim determinar a inversa, restringindo domínio e contradomínio se necessário.
Passo 2
Para completar o quadrado em f(x), observamos que x^2−4x+6 pode ser escrito como
Igualando a zero para achar as raízes, temos
Logo, x−2=±i\sqrt{2} e as soluções são x=2±i√2. Como elas são complexas, não há raízes reais.
Passo 3
Para esboçar y=f(x), note que é uma parábola voltada para cima, com vértice em (2,2), sem interceptos reais em x e intercepto em y dado por f(0)=6.
Passo 4
Para achar a inversa, restringimos o domínio a x≥2 (para garantir injetividade). Partindo de y=(x−2)^2+2, isolamos x:
Passo 5
Substituindo y→x, obtemos f^{-1}(x)=2+√(x−2), com domínio [2,∞) e contradomínio [2,∞).
Resposta
Não há raízes reais (as soluções são 2±i√2). O gráfico é uma parábola com vértice em (2,2), sem interceptos em x e intercepto em y em (0,6). Restrita ao domínio [2,∞), a inversa é f^{-1}(x)=2+√(x−2) (para x≥2).