Use o recurso de completar quadrados para resolver a equação f(x)=0. Esboce do gráfico de y=f(x).
Determine a inversa de f(x) (se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio da função).
f(x)=x^2-4 x+6

Passo 1

Neste exercício, temos a função f(x)=x^2−4x+6. Vamos usar completar o quadrado para resolver f(x)=0, em seguida esboçar seu gráfico e por fim determinar a inversa, restringindo domínio e contradomínio se necessário.

Passo 2

Para completar o quadrado em f(x), observamos que x^2−4x+6 pode ser escrito como
x^2−4x+6=(x−2)^2−4+6=(x−2)^2+2,
Igualando a zero para achar as raízes, temos
(x−2)^2+2=0
(x−2)^2=−2
Logo, x−2=±i\sqrt{2} e as soluções são x=2±i√2. Como elas são complexas, não há raízes reais.

Passo 3

Para esboçar y=f(x), note que é uma parábola voltada para cima, com vértice em (2,2), sem interceptos reais em x e intercepto em y dado por f(0)=6.

Passo 4

Para achar a inversa, restringimos o domínio a x≥2 (para garantir injetividade). Partindo de y=(x−2)^2+2, isolamos x:
(x−2)^2=y−2
x−2=+raizy−2
x=2+raizy−2

Passo 5

Substituindo y→x, obtemos f^{-1}(x)=2+√(x−2), com domínio [2,∞) e contradomínio [2,∞).

Resposta

Não há raízes reais (as soluções são 2±i√2). O gráfico é uma parábola com vértice em (2,2), sem interceptos em x e intercepto em y em (0,6). Restrita ao domínio [2,∞), a inversa é f^{-1}(x)=2+√(x−2) (para x≥2).

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