Use a regra da cadeia para achar partial zpartial t ou partial wpartial t :
w=ln raizz^2+x^2+y^2, x=sen t, y=cos t, z=tg t

Passo 1

O enunciado define a função
w = ln raizz^2 + x^2 + y^2,
com x = sen t, y = cos t e z = tg t.
O que precisamos é aplicar a regra da cadeia para obter partial wpartial t, usando derivadas parciais de w em relação a x,y,z e as derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 2

Primeiro, simplificamos w. Como lnraizA = tfrac12ln A, temos
w = 12,lnl(x^2+y^2+z^2r)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de w:
partial wpartial x = 12cdot1x^2+y^2+z^2cdot 2x = xx^2+y^2+z^2,
e, por simetria,
partial wpartial y = yx^2+y^2+z^2, partial wpartial z = zx^2+y^2+z^2

Passo 4

A regra da cadeia dá
partial wpartial t = partial wpartial x,dxdt + partial wpartial y,dydt + partial wpartial z,dzdt

Passo 5

Calculamos as derivadas de x,y,z:
dxdt = cos t, dydt = -sen t, dzdt = sec^2t
Substituindo tudo em tfracpartial wpartial t:
partial wpartial t = sen tcos t + cos t(-sen t) + tg t,sec^2t sen^2t + cos^2t + tg^2t = 0 + tg t,sec^2t1 + tg^2t = tg t,sec^2tsec^2t = tg t

Resposta

partial wpartial t = tg t

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