Use a Regra da Cadeia para achar d zd t.
z=x^2 y+x y^2, x=2+t^2, y=1-t^3

Passo 1

O enunciado nos dá
z = x^2y + x y^2, x = 2 + t^2, y = 1 - t^3,
e pede tfracdzdt.
O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Compute mos as derivadas parciais de z em relação a x e y.
Como
z = x^2y + x y^2,
temos
partial zpartial x = 2x,y + y^2, partial zpartial y = x^2 + 2x,y

Passo 3

Agora achamos as derivadas de x e y em relação a t:
x = 2 + t^2 Longrightarrow dxdt = 2t,
y = 1 - t^3 Longrightarrow dydt = -3t^2

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
dzdt = l(2x,y + y^2r),2t + l(x^2 + 2x,yr),(-3t^2)

Passo 5

Basta agora substituir x=2+t^2 e y=1-t^3. Se quisermos um polinômio em t, expandimos e agrupamos termos, obtendo
dzdt =10t -24t^2 +4t^3 -30t^4 +12t^5 -7t^6 +8t^7

Resposta

boxeddzdt = 10t -24t^2 +4t^3 -30t^4 +12t^5 -7t^6 +8t^7

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