Use a Regra da Cadeia para achar \frac{d z}{d t}, sendo: w=x e^{y / z}, \quad x=t^{2}, \quad y=1-t, \quad z=1+2 t.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar \frac{d z}{d t}. As informações fornecidas são:
w = x e^{y/z},\qquad x=t^{2},\qquad y=1-t,\qquad z=1+2t.
Então temos a função z definida explicitamente em termos de t pela expressão \;z(t)=1+2t. A única pergunta é: calcular \frac{d z}{d t}.
Passo 2
O que significa \frac{d z}{d t}? É a derivada de z em relação a t, isto é, a taxa de variação instantânea de z quando t varia. Para funções dadas explicitamente como z(t), usamos as regras básicas de derivação: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de a t (com a constante) é a.
Passo 3
Vou lembrar rapidamente a regra da cadeia (porque o enunciado pediu para usá-la): se tivermos uma composição de funções \;z(u) e u(t), então a derivada de z em relação a t é dada por
Aqui cada símbolo significa: u é uma variável intermediária, \frac{d z}{d u} é a derivada de z em relação a u, e \frac{d u}{d t} é a derivada de u em relação a t. Quando a função z já está dada diretamente em função de t, podemos ver isso como uma composição trivial com u=t.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso: z(t)=1+2t pode ser vista como z(u)=1+2u com u=t. Pela regra da cadeia,
Calculamos \frac{d}{d u}\big(1+2u\big). A derivada da constante 1 é 0. A derivada de 2u em relação a u é 2 (regra: a derivada de a u é a). Logo
\frac{d}{d u}\big(1+2u\big)=0+2=2.
Passo 6
Substituindo na fórmula da cadeia:
\frac{d z}{d t}=2\cdot 1 = 2.
Podemos também ver isso de forma direta sem usar o formalismo da cadeia: derivando termo a termo em z(t)=1+2t, obtemos 0+2=2.
Passo 7
Checagem rápida (exemplo extra para fixar): se tivéssemos z(t)=1+3t, então \frac{d z}{d t}=3. Se tivéssemos z(t)=5 (constante), então \frac{d z}{d t}=0. Isso mostra o procedimento é consistente.