Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0 ;\quad y(0)=2, \quad y^{\prime}=(0)=1

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
y''+2y'+5y=0
com as condições iniciais
y(0)=2,\qquad y'(0)=1.
As informações relevantes são portanto: a equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e as duas condições iniciais em t=0. A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, o que é e quais propriedades usaremos (explicação didática e prática):
  • A transformada de Laplace de uma função y(t) é
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\} = a\mathcal{L}\{f\} + b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada das derivadas (fórmulas essenciais para resolver PVI):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas transformam a equação diferencial em uma equação algébrica em s, que é muito mais fácil de resolver. Depois de encontrar Y(s) resolvemos por transformada inversa para obter y(t).

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace membro a membro na equação \,y''+2y'+5y=0. Usando as fórmulas para derivadas e denotando \mathcal{L}\{y\}=Y(s), temos:
\mathcal{L}\{y''\} + 2\mathcal{L}\{y'\} +5\mathcal{L}\{y\} = 0.
Substituindo as expressões:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+5Y(s)=0.
Agora substituímos as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1:
\bigl(s^{2}Y -2s -1\bigr) + 2\bigl(sY -2\bigr) + 5Y = 0.
Agrupando os termos que multiplicam Y e os termos livres:
(s^{2}+2s+5)Y - (2s+5) = 0.
Então isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{2s+5}{s^{2}+2s+5}.

Passo 4

Agora precisamos calcular a transformada inversa de Y(s). Primeiro simplificamos a forma no denominador completando o quadrado:
s^{2}+2s+5 = (s+1)^{2}+4.
Reescrevemos o numerador em termos de s+1 para identificar transformadas conhecidas. Observamos:
2s+5 = 2(s+1) + 3.
Logo
Y(s)=\frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+4} + \frac{3}{(s+1)^{2}+4}.
Esta decomposição é útil porque conhecemos as transformadas inversas padrão:
  • \mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}=\dfrac{s+1}{(s+1)^{2}+2^{2}}.
  • \mathcal{L}\{e^{-t}\sin(2t)\}=\dfrac{2}{(s+1)^{2}+2^{2}}.
    Compare as formas: temos exatamente denominador (s+1)^{2}+2^{2}.

Passo 5

Usando as transformadas inversas padrão:
  • A primeira parcela \dfrac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+4} corresponde a 2e^{-t}\cos(2t).
  • A segunda parcela \dfrac{3}{(s+1)^{2}+4} pode ser escrita como \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{(s+1)^{2}+2^{2}}, portanto corresponde a \dfrac{3}{2}e^{-t}\sin(2t).
Somando as duas partes, obtemos a solução no domínio do tempo:
y(t)=2e^{-t}\cos(2t)+\frac{3}{2}e^{-t}\sin(2t).
Se quiser, fatoramos e^{-t}:
y(t)=e^{-t}\left(2\cos(2t)+\frac{3}{2}\sin(2t)\right).

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): checar as condições iniciais.
  • Em t=0: y(0)=2\cdot 1 + \tfrac{3}{2}\cdot 0 = 2 — confere.
  • Derivando e avaliando em 0 y'(0)=1 (pode-se derivar explicitamente ou confiar na construção via transformada de Laplace). Assim as condições iniciais são atendidas.

Resposta

y(t)=2e^{-t}\cos(2t)+\dfrac{3}{2}e^{-t}\sin(2t)

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