Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O problema pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com as condições iniciais
As informações relevantes são portanto: a equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e as duas condições iniciais em
. A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições.
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, o que é e quais propriedades usaremos (explicação didática e prática):
- A transformada de Laplace de uma função
é
- Linearidade:
. - Transformada das derivadas (fórmulas essenciais para resolver PVI):
Essas fórmulas transformam a equação diferencial em uma equação algébrica em
, que é muito mais fácil de resolver. Depois de encontrar
resolvemos por transformada inversa para obter
.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace membro a membro na equação
. Usando as fórmulas para derivadas e denotando
, temos:
Substituindo as expressões:
Agora substituímos as condições iniciais
e
:
Agrupando os termos que multiplicam
e os termos livres:
Então isolamos
:
Passo 4
Agora precisamos calcular a transformada inversa de
. Primeiro simplificamos a forma no denominador completando o quadrado:
Reescrevemos o numerador em termos de
para identificar transformadas conhecidas. Observamos:
Logo
Esta decomposição é útil porque conhecemos as transformadas inversas padrão:
-
. -
.
Compare as formas: temos exatamente denominador.
Passo 5
Usando as transformadas inversas padrão:
- A primeira parcela
corresponde a . - A segunda parcela
pode ser escrita como , portanto corresponde a .
Somando as duas partes, obtemos a solução no domínio do tempo:
Se quiser, fatoramos
:
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito na prova): checar as condições iniciais.
- Em
: — confere. - Derivando e avaliando em
dá (pode-se derivar explicitamente ou confiar na construção via transformada de Laplace). Assim as condições iniciais são atendidas.