Use a regra da cadeia para calcular d zd t :
z=e^1-x y ; x=t^1 / 3, y=t^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de z = e^1 - xy, x = t^1/3, y = t^3 em relação a , ou seja, . O que temos é que:
Esse problema envolve derivadas compostas e vamos usar a regra da cadeia para resolver. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de z = e^1 - xy Rightarrow partial zpartial x = e^1 - xy cdot (-y) = -y e^1 - xy em relação a z = e^1 - xy Rightarrow partial zpartial y = e^1 - xy cdot (-x) = -x e^1 - xy e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos derivar x = t^1/3 Rightarrow dxdt = 13 t^-2/3 = 13 cdot 1t^2/3 e y = t^3 Rightarrow dydt = 3 t^2 em relação a .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt :
dzdt = (-y e^1 - xy) cdot (13 t^-2/3) + (-x e^1 - xy) cdot (3 t^2)
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão substituindo dzdt = -t^3 e^1 - t^1/3 cdot t^3 cdot 13 t^-2/3 - t^1/3 e^1 - t^1/3 cdot t^3 cdot 3 t^2 e dzdt = -13 t^3 - 2/3 e^1 - t^10/3 - 3 t^1/3 + 2 e^1 - t^10/3 :
dzdt = -13 t^7/3 e^1 - t^10/3 - 3 t^7/3 e^1 - t^10/3
dzdt = (-13 - 3) t^7/3 e^1 - t^10/3
dzdt = -103 t^7/3 e^1 - t^10/3

Resposta

A derivada de dzdt = -103 t^7/3 e^1 - t^10/3 em relação a é:

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