Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
(n)
(n)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de
usando a regra da cadeia. Informação relevante fornecida pelo enunciado:
- A função é
. - A expressão sob a raiz é
, portanto a função só está definida para , ou seja para . - A tarefa é obter
(a derivada de em função de ).
Passo 2
Escolha do método: é mais prático reescrever a função de forma a aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. Vou reescrever a função tirando a raiz para uma potência negativa:
Assim temos um produto de duas funções:
e
. Vou usar a regra do produto para derivar
e, ao derivar
, aplicar a regra da cadeia (pois
é uma potência de uma função interna
).
Passo 3
Lembrando as fórmulas que vou usar (com explicação do significado das variáveis):
- Regra do produto: se
, então
onde
é a derivada de
e
é a derivada de
.
- Regra da cadeia (forma prática para potências): se
, então
onde
é a derivada da função interna
. Aqui
é um número real e
é a função composta.
Também lembro a derivada básica:
- Se
então .
Passo 4
Derivar cada parcela:
- Para
,
- Para
aplico a regra da cadeia com e .
Primeiro.
Aplicando a fórmula,
Calcule o expoente:
. Multiplicando os sinais:
. Logo
Passo 5
Agora uso a regra do produto para
:
Substituindo
já calculados:
Passo 6
Vou simplificar essa expressão fatorando o maior expoente comum em
. O menor expoente (mais negativo) entre
e
é
, então fatoro
:
portanto
Passo 7
Faço a álgebra dentro do parêntese:
somando
obtemos
Então
Posso fatorar
e o
:
portanto
Passo 8
Escrever a resposta numa forma usual com denominador positivo: lembrando que
, e
, obtemos a forma final mais limpa