Use a regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
(n) a(x)=\frac{x^{2}}{\sqrt{-x+5}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de a(x)=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{-x+5}} usando a regra da cadeia. Informação relevante fornecida pelo enunciado:
  • A função é a(x)=\dfrac{x^{2}}{\sqrt{-x+5}}.
  • A expressão sob a raiz é -x+5, portanto a função só está definida para -x+5>0, ou seja para x<5.
  • A tarefa é obter a'(x) (a derivada de a em função de x).

Passo 2

Escolha do método: é mais prático reescrever a função de forma a aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. Vou reescrever a função tirando a raiz para uma potência negativa:
a(x)=x^{2}\cdot(-x+5)^{-1/2}.
Assim temos um produto de duas funções: u(x)=x^{2} e v(x)=(-x+5)^{-1/2}. Vou usar a regra do produto para derivar a(x) e, ao derivar v(x), aplicar a regra da cadeia (pois v é uma potência de uma função interna -x+5).

Passo 3

Lembrando as fórmulas que vou usar (com explicação do significado das variáveis):
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
onde u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v.
  • Regra da cadeia (forma prática para potências): se w(x)=\big(g(x)\big)^{n}, então
w'(x)=n\big(g(x)\big)^{n-1}\cdot g'(x),
onde g'(x) é a derivada da função interna g(x). Aqui n é um número real e g(x) é a função composta.
Também lembro a derivada básica:
  • Se u(x)=x^{2} então u'(x)=2x.

Passo 4

Derivar cada parcela:
  • Para u(x)=x^{2},
u'(x)=2x.
  • Para v(x)=(-x+5)^{-1/2} aplico a regra da cadeia com g(x)=-x+5 e n=-\tfrac{1}{2}.
    Primeiro g'(x)=\dfrac{d}{dx}(-x+5)=-1.
    Aplicando a fórmula,
v'(x)= -\tfrac{1}{2}\big(-x+5\big)^{-1/2-1}\cdot(-1).
Calcule o expoente: -\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{3}{2}. Multiplicando os sinais: -\tfrac{1}{2}\cdot(-1)=\tfrac{1}{2}. Logo
v'(x)=\tfrac{1}{2}\big(-x+5\big)^{-3/2}.

Passo 5

Agora uso a regra do produto para a(x)=u(x)v(x):
a'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' já calculados:
a'(x)=2x\big(-x+5\big)^{-1/2} + x^{2}\cdot\tfrac{1}{2}\big(-x+5\big)^{-3/2}.

Passo 6

Vou simplificar essa expressão fatorando o maior expoente comum em (-x+5). O menor expoente (mais negativo) entre -1/2 e -3/2 é -3/2, então fatoro \big(-x+5\big)^{-3/2}:
2x\big(-x+5\big)^{-1/2} =2x\big(-x+5\big)^{-3/2}\big(-x+5\big)^{1},
portanto
a'(x)=\big(-x+5\big)^{-3/2}\Big(2x(-x+5)+\tfrac{1}{2}x^{2}\Big).

Passo 7

Faço a álgebra dentro do parêntese:
2x(-x+5)= -2x^{2}+10x,
somando \tfrac{1}{2}x^{2} obtemos
-2x^{2}+\tfrac{1}{2}x^{2}+10x = -\tfrac{3}{2}x^{2}+10x.
Então
a'(x)=\big(-x+5\big)^{-3/2}\Big(-\tfrac{3}{2}x^{2}+10x\Big).
Posso fatorar x e o \tfrac{1}{2}:
-\tfrac{3}{2}x^{2}+10x = \tfrac{1}{2}x(-3x+20),
portanto
a'(x)=\tfrac{1}{2}x(-3x+20)\big(-x+5\big)^{-3/2}.

Passo 8

Escrever a resposta numa forma usual com denominador positivo: lembrando que -x+5=5-x, e \big(-x+5\big)^{3/2}=(5-x)^{3/2}, obtemos a forma final mais limpa
a'(x)=\dfrac{x(20-3x)}{2(5-x)^{3/2}}.

Resposta

a'(x)=\dfrac{x(20-3x)}{2(5-x)^{3/2}}

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