Use regra da cadeia para calcular \nabla g(6,2)
g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y))
\nabla f(3,4)=(-1,1)
u(x, y)=\frac{x}{y}
v(x, y)=x^{2}-y^{5}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \nabla g(6,2), onde g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)). As informações fornecidas são:
\nabla f(3,4)=(-1,1),
u(x,y)=\frac{x}{y},
v(x,y)=x^{2}-y^{5}.
Também vamos verificar os pontos onde f será avaliada: calculemos u(6,2) e v(6,2). Da definição de u e v temos
u(6,2)=\frac{6}{2}=3,
v(6,2)=6^{2}-2^{5}=36-32=4.
Portanto, os argumentos de f em (6,2) são (3,4), que coincide com o ponto onde nos foi dada \nabla f.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia para gradientes (aula prática): se g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) e f é função de duas variáveis, a regra da cadeia diz que as derivadas parciais de g são combinações das derivadas parciais de f com as derivadas de u e v. Em fórmulas:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial s}(u,v)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial f}{\partial t}(u,v)\cdot\frac{\partial v}{\partial x}(x,y),
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial s}(u,v)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)+\frac{\partial f}{\partial t}(u,v)\cdot\frac{\partial v}{\partial y}(x,y),
onde eu usei s,t como variáveis de f (ou seja, f=f(s,t) e avaliamos em s=u(x,y),\,t=v(x,y)). Em notação de gradiente (matricial):
\nabla g(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial x}\\[6pt]\dfrac{\partial u}{\partial y} & \dfrac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}^{\!T} \begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial s}(u,v)\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial t}(u,v)\end{pmatrix}.
Explicação curta: a matriz é a transposta da Jacobiana de (u,v) e ela “combina” com o gradiente de f.]

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de u e v simbolicamente (aula prática de diferenciação):
Para u(x,y)=\dfrac{x}{y}=x\cdot y^{-1},
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{y},
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=x\cdot(-1)\,y^{-2}=-\frac{x}{y^{2}}.
Para v(x,y)=x^{2}-y^{5},
\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=2x,
\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=-5y^{4}.
Pequena justificativa: derive x/y tratando y como constante para \partial/\partial x, e como potência para \partial/\partial y. Para v use regra de potência.

Passo 4

Agora avalie essas derivadas em (x,y)=(6,2):
\frac{\partial u}{\partial x}(6,2)=\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
\frac{\partial u}{\partial y}(6,2)=-\frac{6}{2^{2}}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2},
\frac{\partial v}{\partial x}(6,2)=2\cdot 6=12,
\frac{\partial v}{\partial y}(6,2)=-5\cdot 2^{4}=-5\cdot 16=-80.

Passo 5

Interpretemos a informação \nabla f(3,4)=(-1,1). Isso significa
\frac{\partial f}{\partial s}(3,4)=-1,\qquad \frac{\partial f}{\partial t}(3,4)=1,
ou seja, f_{s}(u,v)=-1 e f_{t}(u,v)=1 quando (u,v)=(3,4). Agora temos tudo para aplicar a regra da cadeia no ponto solicitado.

Passo 6

Aplique a fórmula da regra da cadeia em (6,2):
Calcule \dfrac{\partial g}{\partial x}(6,2):
\frac{\partial g}{\partial x}(6,2)=f_{s}(3,4)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(6,2)+f_{t}(3,4)\cdot\frac{\partial v}{\partial x}(6,2).
Substituindo valores:
\frac{\partial g}{\partial x}(6,2)=(-1)\cdot\frac{1}{2}+(1)\cdot 12=-\frac{1}{2}+12.
Colocando em forma de fração com denominador 2:
-\frac{1}{2}+12=-\frac{1}{2}+\frac{24}{2}=\frac{23}{2}.

Passo 7

Agora \dfrac{\partial g}{\partial y}(6,2):
\frac{\partial g}{\partial y}(6,2)=f_{s}(3,4)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(6,2)+f_{t}(3,4)\cdot\frac{\partial v}{\partial y}(6,2).
Substituindo valores:
\frac{\partial g}{\partial y}(6,2)=(-1)\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)+(1)\cdot(-80)=\frac{3}{2}-80.
Colocando em denominador 2:
\frac{3}{2}-80=\frac{3}{2}-\frac{160}{2}=-\frac{157}{2}.

Passo 8

Juntando as componentes, obtemos
\nabla g(6,2)=\left(\frac{23}{2},-\frac{157}{2}\right).

Resposta

\nabla g(6,2)=\left(\dfrac{23}{2},-\dfrac{157}{2}\right)

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