Use regra da cadeia para calcular \nabla g(6,2) g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)) \nabla f(3,4)=(-1,1) u(x, y)=\frac{x}{y} v(x, y)=x^{2}-y^{5}
Passo 1
O que o problema pede: calcular \nabla g(6,2), onde g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)). As informações fornecidas são:
\nabla f(3,4)=(-1,1),
u(x,y)=\frac{x}{y},
v(x,y)=x^{2}-y^{5}.
Também vamos verificar os pontos onde f será avaliada: calculemos u(6,2) e v(6,2). Da definição de u e v temos
u(6,2)=\frac{6}{2}=3,
v(6,2)=6^{2}-2^{5}=36-32=4.
Portanto, os argumentos de f em (6,2) são (3,4), que coincide com o ponto onde nos foi dada \nabla f.
Passo 2
Explicando a regra da cadeia para gradientes (aula prática): se g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) e f é função de duas variáveis, a regra da cadeia diz que as derivadas parciais de g são combinações das derivadas parciais de f com as derivadas de u e v. Em fórmulas:
Pequena justificativa: derive x/y tratando y como constante para \partial/\partial x, e como potência para \partial/\partial y. Para v use regra de potência.