Use a Regra da Cadeia para calcular d zd t ou d wd t no ponto indicado
(a) z=x^2+y^2, x=cos t+sin t, y=cos t-sin t ; t=0

Passo 1

O enunciado dá z=x^2+y^2 com x=cos t+sin t e y=cos t-sin t, e pede dzdt em t=0. O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z e as derivadas de x e y em relação a t. Temos
partial zpartial x=2x,
partial zpartial y=2y,
dxdt=-sin t+cos t,
dydt=-sin t-cos t

Passo 3

Aplicar a Regra da Cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 4

Avaliar em t=0. Primeiro,
x(0)=cos 0+sin 0=1,
y(0)=cos 0-sin 0=1,
dxdtg|t=0=-sin 0+cos 0=1,
dydtg|t=0=-sin 0-cos 0=-1
Então,
dzdtg|t=0 =2cdot 1cdot 1+2cdot 1cdot(-1) =2-2=0

Resposta

0

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