Use a regra da cadeia para determinar d zd t o d wd t
w=x y+y z+x z, x=2 t, y=raizt, z=t^2+t

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia em duas situações:
  1. Calcular dzdt sabendo que z = t^2+t.
  2. Calcular dwdt sabendo que
w = x,y + y,z + x,z, x = 2t, y = raizt, z = t^2+t
O conteúdo principal é a cadeia para funções de variável única (no caso de z) e a regra da cadeia multivariável para w(x,y,z).

Passo 2

Para achar dzdt basta derivar z(t)=t^2+t normalmente:
dzdt = ddtl(t^2+tr) = 2t + 1

Passo 3

Para dwdt usamos
dwdt = partial wpartial x,dxdt + partial wpartial y,dydt + partial wpartial z,dzdt
Primeiro calculamos as parciais de w=x y + y z + x z:
partial wpartial x = y + z, partial wpartial y = x + z, partial wpartial z = x + y
Em seguida as derivadas de x,y,z em relação a t:
dxdt=2, dydt=ddtl(t^1/2r)=12raizt, dzdt=2t+1
Substituindo tudo:
dwdt = (y+z),2 + (x+z),12raizt + (x+y),(2t+1)
Por fim, voltamos x=2t, y=raizt e z=t^2+t e simplificamos:
dwdt =6t^2+4t+52t^3/2+92t^1/2

Resposta

dzdt = 2t + 1, dwdt = 6t^2+4t+52t^3/2+92t^1/2

Exercícios relacionados