Use a Regra da Cadeia para determinar d zd t ou d wd t
b) z=raizx^2+y^2 , x=e^2 t , y=e^-2 t

Passo 1

O enunciado pede para usar a Regra da Cadeia e encontrar dz/dt para
z = raizx^2 + y^2, x = e^2t, y = e^-2t
O conteúdo é derivada de função composta de duas variáveis: precisamos das derivadas parciais de z(x,y) e das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Para achar as derivadas parciais de z, lembramos que z = (x^2+y^2)^1/2. Assim
partial zpartial x = xraizx^2 + y^2, partial zpartial y = yraizx^2 + y^2

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a t:
dxdt = 2e^2t, dydt = -2e^-2t

Passo 4

Aplicamos a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis:
dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt
Substituindo as derivadas parciais e as de x,y temos
dzdt = xraizx^2 + y^2cdot2e^2t + yraizx^2 + y^2cdot(-2e^-2t)

Passo 5

Basta agora substituir x = e^2t e y = e^-2t e simplificar:
dzdt = 2e^2t,e^2t - 2e^-2t,e^-2traize^4t + e^-4t = 2e^4t - 2e^-4traize^4t + e^-4t

Resposta

dzdt = 2e^4t - 2e^-4traize^4t + e^-4t

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