Use a regra de Cramer para resolver em y sem resolver nas incógnitas x, z e w.
4 x+y+z+w= & 6 3 x+7 y-z+w= & 1 7 x+3 y-5 z+8 w= & -3 x+y+z+2 w= & 3

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
4x + y + z + w = 6, 3x + 7y - z + w = 1, 7x + 3y - 5z + 8w = -3, x + y + z + 2w = 3,
e pede apenas o valor de y usando a regra de Cramer. Para isso vamos montar a matriz de coeficientes
A = 4 & 1 & 1 & 1 3 & 7 & -1 & 1 7 & 3 & -5 & 8 1 & 1 & 1 & 2 ,
calcular det(A), depois montar a matriz Ay onde substituímos a coluna de y pelos termos independentes (6,1,-3,3), calcular det(Ay) e usar
y = det(Ay)det(A)

Passo 2

Cálculo de det(A). Para simplificar, trocamos a linha 1 com a linha 4 (o que inverte o sinal do determinante) e eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna; ao expandir pela primeira linha obtemos um menor 3times3
det(A) = -det 4 & -4 & -5 -4 & -12 & -6 -3 & -3 & -7
Chamando esse menor de M, temos
det(M) =4cdotl((-12)(-7)-(-6)(-3)r) -(-4)cdotl((-4)(-7)-(-6)(-3)r) +(-5)cdotl((-4)(-3)-(-12)(-3)r) =424
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det(A)=-424

Passo 3

Montamos Ay substituindo a coluna de y por (6,1,-3,3):
Ay= 4 & 6 & 1 & 1 3 & 1 & -1 & 1 7 & -3 & -5 & 8 1 & 3 & 1 & 2
Repetindo o mesmo procedimento (troca de linha e eliminação), chegamos ao menor
det(Ay) =-det -8 & -4 & -5 -24 & -12 & -6 -6 & -3 & -7
e, ao calcular esse 3times3, obtemos
det(Ay)=0

Passo 4

Pela regra de Cramer
y=det(Ay)det(A)=0-424=0

Resposta

y=0.

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