Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . A matéria que vamos usar pra resolver isso é a Regra de Cramer, que é uma técnica que usa determinantes para achar as soluções das equações. Para aplicar essa regra, a gente vai precisar montar a matriz dos coeficientes e calcular alguns determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes :
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz D. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(D) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos são:
D = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando ao nosso caso:
det(D) = (-1)(0 times (-1) - 1 times 5) - 3(1 times (-1) - 1 times 0) + 2(1 times 5 - 0 times 0)
det(D) = (-1)(0 + (-5)) - 3(-1 - 0) + 2(5 - 0)
det(D) = (-1)(-5) - 3(-1) + 2(5)
det(D) = 5 + 3 + 10 = 18
Passo 5
Agora, vamos encontrar as matrizes Dx1, Dx2 e Dx3 substituindo a coluna correspondente pelos termos constantes do sistema.
Para Dx1, substituímos a primeira coluna:
Dx1 = 24 & 3 & 2 6 & 0 & 1 8 & 5 & -1
Calculando det(Dx1):
det(Dx1) = 24(0 times (-1) - 1 times 5) - 3(6 times (-1) - 1 times 8) + 2(6 times 5 - 0 times 8)
det(Dx1) = 24(0 - 5) - 3(-6 -8) + 2(30 - 0)
det(Dx1) = 24(-5) - 3(-14) + 2(30)
det(Dx1) = -120 + 42 + 60 = -18
Para Dx2, substituímos a segunda coluna:
Dx2 = -1 & 24 & 2 1 & 6 & 1 0 & 8 & -1
Calculando det(Dx2):
det(Dx2) = -1(6 times (-1) - 1 times 8) - 24(1 times (-1) - 1 times 0) + 2(1 times 8 - 6 times 0)
det(Dx2) = -1(-6 -8) - 24(-1 -0) + 2(8 -0)
det(Dx2) = -1(-14) - 24(-1) + 2(8)
det(Dx2) = 14 + 24 + 16 = 54
Para Dx3, substituímos a terceira coluna:
Dx3 = -1 & 3 & 24 1 & 0 & 6 0 & 5 & 8
Calculando det(Dx3):
det(Dx3) = -1(0 times 8 - 6 times 5) - 3(1 times 8 - 6 times 0) + 24(1 times 5 - 0 times 0)
det(Dx3) = -1(0 -30) - 3(8 -0) + 24(5 -0)
det(Dx3) = -1(-30) - 3(8) + 24(5)
det(Dx3) = 30 - 24 + 120 = 126
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as variáveis: