Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações:
-x1+3 x2+2 x3 &=24 x1 +x3 &=6 5 x2-x3 &=8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: x1, x2 e x3. A matéria que vamos usar pra resolver isso é a Regra de Cramer, que é uma técnica que usa determinantes para achar as soluções das equações. Para aplicar essa regra, a gente vai precisar montar a matriz dos coeficientes e calcular alguns determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
- x1 + 3x2 + 2x3 &= 24 x1 + 0x2 + x3 &= 6 0x1 + 5x2 - x3 &= 8

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes D:
D = -1 & 3 & 2 1 & 0 & 1 0 & 5 & -1

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz D. A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 é:
det(D) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos são:
D = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando ao nosso caso:
det(D) = (-1)(0 times (-1) - 1 times 5) - 3(1 times (-1) - 1 times 0) + 2(1 times 5 - 0 times 0)
det(D) = (-1)(0 + (-5)) - 3(-1 - 0) + 2(5 - 0)
det(D) = (-1)(-5) - 3(-1) + 2(5)
det(D) = 5 + 3 + 10 = 18

Passo 5

Agora, vamos encontrar as matrizes Dx1, Dx2 e Dx3 substituindo a coluna correspondente pelos termos constantes do sistema.
Para Dx1, substituímos a primeira coluna:
Dx1 = 24 & 3 & 2 6 & 0 & 1 8 & 5 & -1
Calculando det(Dx1):
det(Dx1) = 24(0 times (-1) - 1 times 5) - 3(6 times (-1) - 1 times 8) + 2(6 times 5 - 0 times 8)
det(Dx1) = 24(0 - 5) - 3(-6 -8) + 2(30 - 0)
det(Dx1) = 24(-5) - 3(-14) + 2(30)
det(Dx1) = -120 + 42 + 60 = -18
Para Dx2, substituímos a segunda coluna:
Dx2 = -1 & 24 & 2 1 & 6 & 1 0 & 8 & -1
Calculando det(Dx2):
det(Dx2) = -1(6 times (-1) - 1 times 8) - 24(1 times (-1) - 1 times 0) + 2(1 times 8 - 6 times 0)
det(Dx2) = -1(-6 -8) - 24(-1 -0) + 2(8 -0)
det(Dx2) = -1(-14) - 24(-1) + 2(8)
det(Dx2) = 14 + 24 + 16 = 54
Para Dx3, substituímos a terceira coluna:
Dx3 = -1 & 3 & 24 1 & 0 & 6 0 & 5 & 8
Calculando det(Dx3):
det(Dx3) = -1(0 times 8 - 6 times 5) - 3(1 times 8 - 6 times 0) + 24(1 times 5 - 0 times 0)
det(Dx3) = -1(0 -30) - 3(8 -0) + 24(5 -0)
det(Dx3) = -1(-30) - 3(8) + 24(5)
det(Dx3) = 30 - 24 + 120 = 126

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as variáveis:
x1 = det(Dx1)det(D) = -1818 = -1
x2 = det(Dx2)det(D) = 5418 = 3
x3 = det(Dx3)det(D) = 12618 = 7

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -1, x2 = 3, x3 = 7

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