Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações:
-x+y+z=a
x-y+z=b
x+y-z=c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a regra de Cramer! A gente tem três equações:
-x + y + z = a x - y + z = b x + y - z = c
Vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como a regra de Cramer funciona para encontrar as soluções das variáveis x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
M = -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1
Essa matriz representa os coeficientes das variáveis x, y e z nas três equações.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz M, que é essencial para a regra de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(M) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(M) = (-1)[(-1)(-1) - (1)(1)] - 1[(1)(-1) - (1)(1)] + 1[(1)(1) - (-1)(1)]
Simplificando:
det(M) = (-1)(1 - 1) - 1(-1 -1) + 1(1 + 1) = (-1)(0) - 1(-2) + 1(2) = 0 + 2 + 2 = 4

Passo 4

Agora, vamos encontrar os determinantes det(Mx) , det(My) e det(Mz) substituindo as colunas correspondentes pelas constantes a, b e c.
Para x:
Mx = a & 1 & 1 b & -1 & 1 c & 1 & -1
Calculando det(Mx) :
det(Mx) = a[(-1)(-1) - (1)(1)] - 1[b(-1) - (1)(c)] + 1[b(1) - (-1)(c)]
= a(1 - 1) - 1(-b - c) + 1(b + c) = a(0) + b + c + b + c = 2b + 2c
Para y:
My = -1 & a & 1 1 & b & 1 1 & c & -1
Calculando det(My) :
det(My) = -1[b(-1) - (1)(c)] - a[1(-1) - (1)(1)] + 1[1(c) - b(1)]
= -1(-b - c) - a(-1 -1) + 1(c - b) = b + c + 2a + c - b = 2a + 2c
Para z:
Mz = -1 & 1 & a 1 & -1 & b 1 & 1 & c
Calculando det(Mz) :
det(Mz) = -1[(-1)(c) - (1)(b)] - 1[1(c) - (1)(b)] + a[1(1) - (-1)(1)]
= -1(-c - b) - 1(c - b) + a(1 + 1) = c + b - c + b + 2a = 2b + 2a

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de Cramer para encontrar as soluções:
x = det(Mx)det(M) = 2b + 2c4 = b + c2
y = det(My)det(M) = 2a + 2c4 = a + c2
z = det(Mz)det(M) = 2a + 2b4 = a + b2

Resposta

As soluções do sistema são:
x = b + c2, y = a + c2, z = a + b2

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