Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações:
4 x+3 y-2 z=1
x+2 y=6
3 x+ z=4

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de três equações e três incógnitas:
4x + 3y - 2z = 1,
x + 2y + 0z = 6,
3x + 0y + z = 4
Vamos usar a regra de Cramer, que exige calcular o determinante da matriz de coeficientes ( D) e os determinantes das matrizes obtidas ao substituir cada coluna pelo vetor dos termos independentes ( Dx, Dy e Dz). A solução será
x = DxD, y = DyD, z = DzD

Passo 2

Calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes:
D = 4 & 3 & -2 1 & 2 & 0 3 & 0 & 1 = 4cdotdet2 & 00 & 1 -3cdotdet1 & 03 & 1 +(-2)cdotdet1 & 23 & 0
Agora,
4cdot(2cdot1-0cdot0)-3cdot(1cdot1-0cdot3)+(-2)cdot(1cdot0-2cdot3) =4cdot2-3cdot1+(-2)cdot(-6) =8-3+12=17,
logo D=17.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna pelo vetor (1,6,4) e calculamos Dx:
Dx = 1 & 3 & -2 6 & 2 & 0 4 & 0 & 1 =1cdotdet2 & 00 & 1 -3cdotdet6 & 04 & 1 +(-2)cdotdet6 & 24 & 0
Isso dá
1cdot(2cdot1-0cdot0)-3cdot(6cdot1-0cdot4)+(-2)cdot(6cdot0-2cdot4) =2-18+16=0,
logo Dx=0.

Passo 4

Substituímos a segunda coluna pelo vetor (1,6,4) e calculamos Dy:
Dy = 4 & 1 & -2 1 & 6 & 0 3 & 4 & 1 =4cdotdet6 & 04 & 1 -1cdotdet1 & 03 & 1 +(-2)cdotdet1 & 63 & 4
Calculando,
4cdot(6cdot1-0cdot4)-1cdot(1cdot1-0cdot3)+(-2)cdot(1cdot4-6cdot3) =24-1+(-2)cdot(-14) =23+28=51,
logo Dy=51.

Passo 5

Substituímos a terceira coluna pelo vetor (1,6,4) e calculamos Dz:
Dz = 4 & 3 & 1 1 & 2 & 6 3 & 0 & 4 =4cdotdet2 & 60 & 4 -3cdotdet1 & 63 & 4 +1cdotdet1 & 23 & 0
Isso resulta em
4cdot(2cdot4-6cdot0)-3cdot(1cdot4-6cdot3)+1cdot(1cdot0-2cdot3) =32-3cdot(-14)-6 =32+42-6=68,
logo Dz=68.

Passo 6

Aplicando a regra de Cramer:
x = DxD = 017 = 0, y = DyD = 5117 = 3, z = DzD = 6817 = 4

Resposta

x=0, y=3, z=4.

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