Use a Regra de l’Hôpital para encontrar os limites dos exercícios.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to0^+}\Bigl(\frac{1}{x^{2}}\Bigr)^{x}.
Aqui temos uma forma indeterminada do tipo \infty^{0}, então vamos usar a transforma\c{c}~{a}o exponencial e, em seguida, a regra de L’H^opital.

Passo 2

Escrevemos a expressão como
\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\Bigr)^{x} = e^{\,x\ln\!\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)}.
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\lim_{x\to0^+}\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\Bigr)^{x} = e^{\displaystyle \lim_{x\to0^+}x\ln\!\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)}.

Passo 3

Calculamos o limite do expoente:
\lim_{x\to0^+}x\ln\!\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\bigr) = \lim_{x\to0^+}\bigl(-2x\ln x\bigr).

Passo 4

Para avaliar \displaystyle \lim_{x\to0^+}x\ln x reescrevemos como
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x}
e aplicamos a regra de L’H^opital. Derivando numerador e denominador, obtemos
\frac{\tfrac{d}{dx}(\ln x)}{\tfrac{d}{dx}(1/x)} = \frac{1/x}{-1/x^{2}} = -\,x,
que tende a 0 quando x\to0^+. Portanto
\displaystyle \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 e
\displaystyle \lim_{x\to0^+}(-2x\ln x)=0.

Passo 5

Como o expoente tende a 0, concluímos
\lim_{x\to0^+}\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\Bigr)^{x} = e^{0} = 1.

Resposta

1

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