Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercicio 24) para estimar o valor da integral. Divida
oito subcaixas de igual tamanho.
, onde
Passo 1
O exercício pede para estimar a integral tripla
sobre a região
usando a Regra do Ponto Médio com 8 subcaixas. Vamos precisar dividir cada intervalo em 2 partes iguais, calcular o volume de cada subcaixa e avaliar a função no ponto médio de cada uma.
Passo 2
Dividimos cada intervalo em 2 subintervalos: em
, de 0 a 4, temos
; em
, de 0 a 1, temos
; em
, de 0 a 2, temos
. O volume de cada subcaixa é
[\Delta V = \Delta x,\Delta y,\Delta z = 2 \times 0.5 \times 1 = 1]
Os pontos médios de cada subintervalo são
[x_i^* \in {1,3},\quad y_j^* \in {0.25,0.75},\quad z_k^* \in {0.5,1.5}]
[\Delta V = \Delta x,\Delta y,\Delta z = 2 \times 0.5 \times 1 = 1]
Os pontos médios de cada subintervalo são
[x_i^* \in {1,3},\quad y_j^* \in {0.25,0.75},\quad z_k^* \in {0.5,1.5}]
Passo 3
Agora avaliamos
nesses 8 pontos: Para
(onde
) temos
[f(1,0.25,0.5)=e^{0.125}\approx1.1331]
[f(1,0.25,1.5)=e^{0.375}\approx1.4559]
[f(1,0.75,0.5)=e^{0.375}\approx1.4559]
[f(1,0.75,1.5)=e^{1.125}\approx3.0802]
Para (onde
) temos
[f(3,0.25,0.5)\approx1.7321,e^{0.125}\approx1.9621]
[f(3,0.25,1.5)\approx1.7321,e^{0.375}\approx2.5218]
[f(3,0.75,0.5)\approx1.7321,e^{0.375}\approx2.5218]
[f(3,0.75,1.5)\approx1.7321,e^{1.125}\approx5.3349]
[f(1,0.25,0.5)=e^{0.125}\approx1.1331]
[f(1,0.25,1.5)=e^{0.375}\approx1.4559]
[f(1,0.75,0.5)=e^{0.375}\approx1.4559]
[f(1,0.75,1.5)=e^{1.125}\approx3.0802]
Para
[f(3,0.25,0.5)\approx1.7321,e^{0.125}\approx1.9621]
[f(3,0.25,1.5)\approx1.7321,e^{0.375}\approx2.5218]
[f(3,0.75,0.5)\approx1.7321,e^{0.375}\approx2.5218]
[f(3,0.75,1.5)\approx1.7321,e^{1.125}\approx5.3349]
Passo 4
Somamos esses oito valores e multiplicamos por
, obtendo
[\sum f(x_i*,y_j,z_k^),\Delta V\approx1.1331+1.4559+1.4559+3.0802+1.9621+2.5218+2.5218+5.3349\approx19.466]
[\sum f(x_i*,y_j,z_k^),\Delta V\approx1.1331+1.4559+1.4559+3.0802+1.9621+2.5218+2.5218+5.3349\approx19.466]
Resposta
A aproximação da integral pelo Regra do Ponto Médio com 8 subcaixas é aproximadamente
.