Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercicio 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de igual tamanho.
integral triplaB raizx e^y z d V, onde
B=(x, y, z) mid 0 <= x <= 4,0 <= y <= 1,0 <= z <= 2

Passo 1

O exercício pede para estimar a integral tripla integral triplaBraizx,e^yz,dV sobre a região B=(x,y,z)mid 0<= x<=4,;0<= y<=1,;0<= z<=2 usando a Regra do Ponto Médio com 8 subcaixas. Vamos precisar dividir cada intervalo em 2 partes iguais, calcular o volume de cada subcaixa e avaliar a função no ponto médio de cada uma.

Passo 2

Dividimos cada intervalo em 2 subintervalos: em x, de 0 a 4, temos De; em y, de 0 a 1, temos De; em z, de 0 a 2, temos De. O volume de cada subcaixa é
[\Delta V = \Delta x,\Delta y,\Delta z = 2 \times 0.5 \times 1 = 1]
Os pontos médios de cada subintervalo são
[x_i^* \in {1,3},\quad y_j^* \in {0.25,0.75},\quad z_k^* \in {0.5,1.5}]

Passo 3

Agora avaliamos f(x,y,z)=raizx,e^yz nesses 8 pontos: Para x=1 (onde raiz1=1) temos
[f(1,0.25,0.5)=e^{0.125}\approx1.1331]
[f(1,0.25,1.5)=e^{0.375}\approx1.4559]
[f(1,0.75,0.5)=e^{0.375}\approx1.4559]
[f(1,0.75,1.5)=e^{1.125}\approx3.0802]
Para x=3 (onde raiz3approx1.7321) temos
[f(3,0.25,0.5)\approx1.7321,e^{0.125}\approx1.9621]
[f(3,0.25,1.5)\approx1.7321,e^{0.375}\approx2.5218]
[f(3,0.75,0.5)\approx1.7321,e^{0.375}\approx2.5218]
[f(3,0.75,1.5)\approx1.7321,e^{1.125}\approx5.3349]

Passo 4

Somamos esses oito valores e multiplicamos por De, obtendo
[\sum f(x_i*,y_j,z_k^),\Delta V\approx1.1331+1.4559+1.4559+3.0802+1.9621+2.5218+2.5218+5.3349\approx19.466]

Resposta

A aproximação da integral pelo Regra do Ponto Médio com 8 subcaixas é aproximadamente 19.466.

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