Use a regra do produto: dd t f g=d fd t g+f d gd t e mostre que
b) dd t t^2(t-1)^-1=t^2-2 t(t-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ddtl[t^2(t-1)^-1r]
usando a regra do produto. Para isso definimos
f(t)=t^2, g(t)=(t-1)^-1
e sabemos que
ddt[f(t)g(t)] = f'(t),g(t) + f(t),g'(t)

Passo 2

Calculamos as derivadas de f e g:
f'(t)=ddt(t^2)=2t,
g'(t)=ddtl((t-1)^-1r) =-1,(t-1)^-2cdotddt(t-1) =-(t-1)^-2

Passo 3

Aplicando a regra do produto temos
ddtl[t^2(t-1)^-1r] =2t,(t-1)^-1 +t^2l(-,(t-1)^-2r)
Para somar as frações, colocamos o mesmo denominador (t-1)^2:
2t,(t-1)^-1 =2t(t-1)(t-1)^2, -,t^2(t-1)^-2 =-,t^2(t-1)^2,
logo
ddtl[t^2(t-1)^-1r] =2t(t-1)-t^2(t-1)^2

Passo 4

Basta expandir e simplificar o numerador:
2t(t-1)-t^2 =2t^2-2t - t^2 =t^2-2t
Portanto
ddtl[t^2(t-1)^-1r] =t^2-2t(t-1)^2

Resposta

ddtl[t^2(t-1)^-1r] =t^2-2t(t-1)^2

Exercícios relacionados