Use a Regra de Simpson repetida com m=6 subintervalos para aproximar o valor das integrais:
\int_{0}^{2 \pi} \cos \left(x^{2}\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor da integral
\int_{0}^{2\pi} \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
usando a Regra de Simpson repetida (composta) com m=6 subintervalos.
Informações dadas e o que precisamos usar:
  • Limites de integração: a=0 e b=2\pi.
  • Número de subintervalos: m=6 (é par, então Simpson composto é aplicável).
  • Precisamos calcular os valores de f(x)=\cos(x^{2}) nos nós x_{k}=a+k h, k=0,\dots,6, com h=(b-a)/m, e aplicar a fórmula composta de Simpson.

Passo 2

Apresento a Regra de Simpson composta (fórmula que vamos aplicar) e explico os símbolos:
I\approx \frac{h}{3}\Bigl(f_{0}+4\sum_{\substack{k=1\k\text{ ímpar}}}^{m-1}f_{k}+2\sum_{\substack{k=2\k\text{ par}}}^{m-2}f_{k}+f_{m}\Bigr),
onde:
  • h=\dfrac{b-a}{m} é o passo (tamanho de cada subintervalo);
  • f_{k}=f(x_{k})=\cos(x_{k}^{2}) e x_{k}=a+k h;
  • as somas com fatores 4 e 2 vêm da dedução da Regra de Simpson (peso 4 para nós de índice ímpar, peso 2 para nós com índice par interior).
    Vou aplicar exatamente essa fórmula com a=0, b=2\pi, m=6.

Passo 3

Calculo do passo h e dos nós x_{k}:
h=\frac{2\pi-0}{6}=\frac{\pi}{3}.
Portanto
x_{k}=k\cdot\frac{\pi}{3},\qquad k=0,1,\dots,6.
Para simplificar os argumentos de \cos(x^{2}) notamos que
x_{k}^{2}=\left(k\frac{\pi}{3}\right)^{2}=\frac{k^{2}}{9}\,\pi^{2}.
Vou trabalhar com os k inteiros 0 a 6 usando a forma \dfrac{k^{2}}{9}\pi^{2} e depois reduzir os argumentos módulo 2\pi quando necessário para calcular os cossenos.

Passo 4

Listo os nós x_{k}, os argumentos x_{k}^{2} e as reduções mod 2\pi (uso \,2\pi\approx 6{,}283185307179586 e \pi^{2}\approx 9{,}869604401089358):
  • k=0: x_{0}=0. \;x_{0}^{2}=0. Então f_{0}=\cos(0)=1.
  • k=1: x_{1}=\dfrac{\pi}{3}. \;x_{1}^{2}=\dfrac{1}{9}\pi^{2}\approx 1{,}096622711232151. Este valor já é pequeno (menor que 2\pi), então
    f_{1}=\cos\!\bigl(1{,}096622711232151\bigr).
  • k=2: x_{2}=\dfrac{2\pi}{3}. \;x_{2}^{2}=\dfrac{4}{9}\pi^{2}\approx 4{,}386490844928604. Também está menor que 2\pi, mas maior que \pi. Podemos usar a identidade \cos(\pi+u)=-\cos u ao escrever 4{,}38649=\pi+1{,}244898193839246. Então
    f_{2}=\cos\!\bigl(4{,}386490844928604\bigr)=-\cos\!\bigl(1{,}244898193839246\bigr).
  • k=3: x_{3}=\pi. \;x_{3}^{2}=\pi^{2}\approx 9{,}869604401089358. Reduzindo modulo 2\pi:
    9{,}869604401089358-2\pi\approx 3{,}586419093909772,
    e 3{,}586419093909772=\pi+0{,}4448264403201795. Então
    f_{3}=\cos\!\bigl(\pi^{2}\bigr)=\cos\!\bigl(9{,}8696\ldots\bigr)=-\cos\!\bigl(0{,}4448264403201795\bigr).
  • k=4: x_{4}=\dfrac{4\pi}{3}. \;x_{4}^{2}=\dfrac{16}{9}\pi^{2}\approx 17{,}545963379714416. Reduzindo por 2\pi duas vezes:
    17{,}545963379714416-2\cdot2\pi\approx 4{,}979592765355244.
    Note que 4{,}979592765355244=\pi+1{,}837\ldots. Assim
    f_{4}=\cos\!\bigl(17{,}54596\ldots\bigr)=-\cos\!\bigl(1{,}837\ldots\bigr).
  • k=5: x_{5}=\dfrac{5\pi}{3}. \;x_{5}^{2}=\dfrac{25}{9}\pi^{2}\approx 27{,}415567780803775. Reduzindo por 2\pi quatro vezes (ou uma vez por 4\cdot 2\pi):
    27{,}415567780803775-4\cdot2\pi\approx 2{,}282826552085429.
    Assim
    f_{5}=\cos\!\bigl(27{,}41556\ldots\bigr)=\cos\!\bigl(2{,}282826552085429\bigr).
  • k=6: x_{6}=2\pi. \;x_{6}^{2}=(2\pi)^{2}=4\pi^{2}\approx 39{,}47841760435743. Reduzindo por 2\pi seis vezes:
    39{,}47841760435743-6\cdot2\pi\approx 1{,}779305761279906.
    Então
    f_{6}=\cos\!\bigl(4\pi^{2}\bigr)=\cos\!\bigl(1{,}779305761279906\bigr).
Nosso trabalho agora é obter aproximações numéricas razoáveis para cada f_{k}=\cos(\text{argumento reduzido}). Para isso uso identidades trigonométricas e aproximações série (ou aproximações diretas para \sin e \cos de ângulos pequenos/moderados).

Passo 5

Cálculo aproximado, passo a passo, de cada f_{k}. Para ângulos pequenos uso séries truncadas (suficientes aqui para obter 3–4 casas decimais corretas):
  • Série de seno: \sin t \approx t-\dfrac{t^{3}}{6}+\dfrac{t^{5}}{120}.
  • Série de cosseno: \cos t \approx 1-\dfrac{t^{2}}{2}+\dfrac{t^{4}}{24}.
  1. f_{0}=\cos 0=1{,}000000.
  2. f_{1}=\cos\!\bigl(1{,}096622711232151\bigr). Observação: 1{,}0966227=\dfrac{\pi}{2}-0{,}474173615563642, então
    \cos(1{,}0966227)=\sin(0{,}474173615563642).
    Calculo \sin(0{,}4741736) pela série:
    \sin t\approx t-\frac{t^{3}}{6}+\frac{t^{5}}{120}.
    Com t=0{,}4741736: t^{3}\approx 0{,}1065, t^{5}\approx 0{,}0239. Assim
    \sin t\approx 0{,}4741736-0{,}01775+0{,}00020\approx 0{,}45662.
    Portanto f_{1}\approx 0{,}45662. (Arredondei para 5 casas decimais úteis: 0{,}45662.)
  3. f_{2}=-\cos(1{,}244898193839246) (veja Passo 4). Note 1{,}2448982=\dfrac{\pi}{2}-0{,}3258981, então \cos(1{,}2448982)=\sin(0{,}3258981). Com t=0{,}3258981: t^{3}\approx 0{,}0346, t^{5}\approx 0{,}0037. Assim
    \sin t\approx 0{,}3258981-0{,}005767+0{,}000031\approx 0{,}320162.
    Logo \cos(1{,}2448982)\approx 0{,}32016 e
    f_{2}\approx -0{,}32016.
  4. f_{3}=-\cos(0{,}4448264403201795). Calculo \cos(0{,}4448264) pela série:
    t=0{,}4448264,\quad t^{2}\approx 0{,}197869,\quad t^{4}\approx 0{,}039155.
\cos t\approx 1-\frac{0{,}197869}{2}+\frac{0{,}039155}{24}\approx 1-0{,}0989345+0{,}001631\approx 0{,}9026965.
Então f_{3}\approx -0{,}90270.
  1. f_{4}=-\cos(1{,}837\ldots) com 1{,}837\ldots sendo o resto do argumento. Observação útil: 1{,}837\approx \dfrac{\pi}{2}+0{,}2662, portanto \cos(1{,}837)=-\sin(0{,}2662). Calculo \sin(0{,}2662) pela série: t=0{,}2662,\quad t^{3}\approx 0{,}01885,\quad t^{5}\approx 0{,}00133.
\sin t\approx 0{,}2662-0{,}003141+0{,}000011\approx 0{,}26307.
Então \cos(1{,}837)\approx -0{,}26307 e
f_{4}=-\cos(1{,}837)\approx -(-0{,}26307)=0{,}26307.
  1. f_{5}=\cos(2{,}282826552085429). Como 2{,}2828265=\pi-0{,}8587651, usa-se \cos(\pi-u)=-\cos u. Então f_{5}=-\cos(0{,}8587651).Calculo \cos(0{,}8587651) pela série: t=0{,}8587651,\quad t^{2}\approx 0{,}73740,\quad t^{4}\approx 0{,}54377.
\cos t\approx 1-\frac{0{,}73740}{2}+\frac{0{,}54377}{24}\approx 1-0{,}36870+0{,}02266\approx 0{,}65396.
Assim f_{5}\approx -0{,}65396.
  1. f_{6}=\cos(1{,}779305761279906). Notamos 1{,}7793058=\dfrac{\pi}{2}+0{,}2085095, logo \cos(1{,}7793)=-\sin(0{,}2085095). Com t=0{,}2085095: t^{3}\approx 0{,}00906,\quad t^{5}\approx 0{,}00039,
\sin t\approx 0{,}2085095-0{,}00151+0{,}000003\approx 0{,}20700.
Portanto f_{6}\approx -0{,}20700.
Resumindo as aproximações (arredondei a 5 casas úteis):
\begin{aligned} f_{0}&\approx 1{,}00000,\\\ f_{1}&\approx 0{,}45662,\\\ f_{2}&\approx -0{,}32016,\\\ f_{3}&\approx -0{,}90270,\\\ f_{4}&\approx 0{,}26307,\\\ f_{5}&\approx -0{,}65396,\\\ f_{6}&\approx -0{,}20700. \end{aligned}

Passo 6

Agora aplico a fórmula composta de Simpson. Lembro:
I\approx \frac{h}{3}\bigl(f_{0}+4(f_{1}+f_{3}+f_{5})+2(f_{2}+f_{4})+f_{6}\bigr),
com h=\dfrac{\pi}{3}. Primeiro calculo as somas internas:
  • Soma dos termos com coeficiente 4: f_{1}+f_{3}+f_{5}\approx 0{,}45662+(-0{,}90270)+(-0{,}65396) \approx -1{,}09994.
4\cdot(f_{1}+f_{3}+f_{5})\approx 4\cdot(-1{,}09994)\approx -4{,}39976.
  • Soma dos termos com coeficiente 2: f_{2}+f_{4}\approx -0{,}32016+0{,}26307\approx -0{,}05709,
2\cdot(f_{2}+f_{4})\approx -0{,}11418.
Agora a soma total S=f_{0}+4(\cdots)+2(\cdots)+f_{6}:
S\approx 1{,}00000 + (-4{,}39976) + (-0{,}11418) + (-0{,}20700) \approx -3{,}72094.

Passo 7

Multiplico por h/3. Como h=\dfrac{\pi}{3}, tem-se h/3=\dfrac{\pi}{9}. Numericamente \dfrac{\pi}{9}\approx 0{,}349065850398866. Então
I\approx \frac{\pi}{9}\cdot S \approx 0{,}349065850398866\cdot(-3{,}72094)\approx -1{,}29830\\ (\text{aprox.}).
Arredondando para quatro casas decimais úteis, a aproximação fica -1{,}2983.

Resposta

-1,2983

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