Use a Regra de Simpson repetida com
subintervalos para aproximar o valor das integrais:
;
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o valor da integral
usando a Regra de Simpson repetida (composta) com
subintervalos.
Informações dadas e o que precisamos usar:
Informações dadas e o que precisamos usar:
- Limites de integração:
e . - Número de subintervalos:
(é par, então Simpson composto é aplicável). - Precisamos calcular os valores de
nos nós , , com , e aplicar a fórmula composta de Simpson.
Passo 2
Apresento a Regra de Simpson composta (fórmula que vamos aplicar) e explico os símbolos:
onde:
-
é o passo (tamanho de cada subintervalo); -
e ; - as somas com fatores
e vêm da dedução da Regra de Simpson (peso 4 para nós de índice ímpar, peso 2 para nós com índice par interior).
Vou aplicar exatamente essa fórmula com, , .
Passo 3
Calculo do passo
e dos nós
:
Portanto
Para simplificar os argumentos de
notamos que
Vou trabalhar com os
inteiros
a
usando a forma
e depois reduzir os argumentos módulo
quando necessário para calcular os cossenos.
Passo 4
Listo os nós
, os argumentos
e as reduções mod
(uso
e
):
-
: . . Então . -
: . . Este valor já é pequeno (menor que ), então -
: . . Também está menor que , mas maior que . Podemos usar a identidade ao escrever . Então -
: . . Reduzindo modulo : e. Então -
: . . Reduzindo por duas vezes: Note que. Assim -
: . . Reduzindo por quatro vezes (ou uma vez por ): Assim -
: . . Reduzindo por seis vezes: Então
Nosso trabalho agora é obter aproximações numéricas razoáveis para cada
. Para isso uso identidades trigonométricas e aproximações série (ou aproximações diretas para
e
de ângulos pequenos/moderados).
Passo 5
Cálculo aproximado, passo a passo, de cada
. Para ângulos pequenos uso séries truncadas (suficientes aqui para obter 3–4 casas decimais corretas):
- Série de seno:
. - Série de cosseno:
.
-
. -
. Observação: , então Calculopela série: Com: , . Assim Portanto. (Arredondei para 5 casas decimais úteis: .) -
(veja Passo 4). Note , então . Com : , . Assim Logoe -
. Calculo pela série:
Então
.
-
com sendo o resto do argumento. Observação útil: , portanto . Calculo pela série:
Então
e
-
. Como , usa-se . Então Calculo pela série:
Assim
.
-
. Notamos , logo . Com :
Portanto
.
Resumindo as aproximações (arredondei a 5 casas úteis):
Passo 6
Agora aplico a fórmula composta de Simpson. Lembro:
com
. Primeiro calculo as somas internas:
- Soma dos termos com coeficiente
:
- Soma dos termos com coeficiente
:
Agora a soma total
:
Passo 7
Multiplico por
. Como
, tem-se
. Numericamente
. Então
Arredondando para quatro casas decimais úteis, a aproximação fica
.