Calcule
utilizando a regra do trapézio repetida, subdividindo o intervalo
em 8 subintervalos e estime o erro.
Solução:
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime a integral
usando a regra do trapézio repetida (composta) com
subintervalos, e que eu estime o erro associado a essa aproximação. Informações dadas e que vou usar:
Passo 2
Vou apresentar a fórmula da regra do trapézio composta e explicar cada termo. Seja
o tamanho de cada subintervalo definido por
A regra do trapézio composta com
subintervalos é
onde
para
. Intuitivamente, dividimos o intervalo em retângulos trapezoidais em cada subintervalo e somamos as áreas. Para estimar o erro usamos a fórmula de cota do erro do trapézio composto: se
for contínua em
e
, então
Vou aplicar essas fórmulas com
.
Passo 3
Calculo de
e dos nós:
Os nós são
ou seja
,
,
,
,
.
Passo 4
Avalio
em cada nó (valores aproximados numéricos mostrados com precisão suficiente para o cálculo):
Esses valores são obtidos avaliando a função exponencial nos nós; em prova você pode usar uma calculadora para essas avaliações ou tabelas.
Passo 5
Calculo a soma necessária para a fórmula do trapézio. Primeiro a soma dos pontos internos:
Passo 6
Agora aplico a fórmula do trapézio composta:
Arredondando para quatro casas decimais conforme a solução fornecida:
Passo 7
Para comparar com o valor exato (útil para ver quão boa é a aproximação): sabemos que a primitiva de
é
, logo
O erro real da aproximação é
Passo 8
Agora a cota teórica do erro pelo lema do trapézio composto. Para
temos
, que atinge o máximo em
no ponto
. Assim
Aplicando a fórmula
com
e
,
Arredondando como na solução:
Note que a cota teórica é uma garantia superior; o erro real que calculamos no Passo 7 (
) é menor, como esperado.