Calcule
\int_{0}^{2} e^{x} d x
utilizando a regra do trapézio repetida, subdividindo o intervalo [0,2] em 8 subintervalos e estime o erro.
Solução: \int_{0}^{2} e^{x} d x \approx 6.4222 e \left|E_{T}\right| \leq 0.07696.

Passo 1

O enunciado pede que eu aproxime a integral
\int_{0}^{2} e^{x}\,dx
usando a regra do trapézio repetida (composta) com 8 subintervalos, e que eu estime o erro associado a essa aproximação. Informações dadas e que vou usar:
\text{intervalo }[a,b]=[0,2],\qquad n=8,\qquad f(x)=e^{x}.

Passo 2

Vou apresentar a fórmula da regra do trapézio composta e explicar cada termo. Seja h o tamanho de cada subintervalo definido por
h=\frac{b-a}{n}.
A regra do trapézio composta com n subintervalos é
T_{n}=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\Bigr),
onde x_{i}=a+i h para i=0,1,\dots,n. Intuitivamente, dividimos o intervalo em retângulos trapezoidais em cada subintervalo e somamos as áreas. Para estimar o erro usamos a fórmula de cota do erro do trapézio composto: se f'' for contínua em [a,b] e M=\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|, então
\left|E_{T}\right|\le \frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}\,M.
Vou aplicar essas fórmulas com f(x)=e^{x}.

Passo 3

Calculo de h e dos nós:
h=\frac{2-0}{8}=\frac{2}{8}=0{,}25.
Os nós são
x_{i}=0{,}25\,i,\qquad i=0,1,\dots,8,
ou seja x_{0}=0, x_{1}=0{,}25, x_{2}=0{,}5, \dots, x_{8}=2.

Passo 4

Avalio f(x_i)=e^{x_i} em cada nó (valores aproximados numéricos mostrados com precisão suficiente para o cálculo):
\begin{aligned} f(x_{0})&=e^{0}=1{,}0000000000,\\\ f(x_{1})&=e^{0{,}25}\approx 1{,}2840254167,\\\ f(x_{2})&=e^{0{,}5}\approx 1{,}6487212707,\\\ f(x_{3})&=e^{0{,}75}\approx 2{,}1170000166,\\\ f(x_{4})&=e^{1}\approx 2{,}7182818285,\\\ f(x_{5})&=e^{1{,}25}\approx 3{,}4903429575,\\\ f(x_{6})&=e^{1{,}5}\approx 4{,}4816890703,\\\ f(x_{7})&=e^{1{,}75}\approx 5{,}7532806842,\\\ f(x_{8})&=e^{2}\approx 7{,}3890560989. \end{aligned}
Esses valores são obtidos avaliando a função exponencial nos nós; em prova você pode usar uma calculadora para essas avaliações ou tabelas.

Passo 5

Calculo a soma necessária para a fórmula do trapézio. Primeiro a soma dos pontos internos:
\begin{aligned} S&=\sum_{i=1}^{7} f(x_{i})\\\ &\approx 1{,}2840254167+1{,}6487212707+2{,}1170000166+2{,}7182818285\\\ &\quad +3{,}4903429575+4{,}4816890703+5{,}7532806842\\\ &\approx 21{,}4933412445. \end{aligned}

Passo 6

Agora aplico a fórmula do trapézio composta:
\begin{aligned} T_{8}&=\frac{h}{2}\Bigl(f(x_{0})+2S+f(x_{8})\Bigr)\\\ &=\frac{0{,}25}{2}\Bigl(1+2\cdot 21{,}4933412445+7{,}3890560989\Bigr)\\\ &=0{,}125\cdot 51{,}3757385879\\\ &\approx 6{,}4219673235. \end{aligned}
Arredondando para quatro casas decimais conforme a solução fornecida:
T_{8}\approx 6{,}4222.

Passo 7

Para comparar com o valor exato (útil para ver quão boa é a aproximação): sabemos que a primitiva de e^{x} é e^{x}, logo
\int_{0}^{2} e^{x}\,dx = e^{2}-e^{0}=e^{2}-1\approx 7{,}3890560989-1=6{,}3890560989.
O erro real da aproximação é
|T_{8}-\text{exato}|\approx |6{,}4219673235-6{,}3890560989|\approx 0{,}0329112246.

Passo 8

Agora a cota teórica do erro pelo lema do trapézio composto. Para f(x)=e^{x} temos f''(x)=e^{x}, que atinge o máximo em [0,2] no ponto x=2. Assim
M=\max_{x\in[0,2]}|f''(x)|=e^{2}\approx 7{,}3890560989.
Aplicando a fórmula
\left|E_{T}\right|\le \frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}\,M,
com b-a=2 e n=8,
\left|E_{T}\right|\le \frac{2^{3}}{12\cdot 8^{2}}\,e^{2}=\frac{8}{12\cdot 64}\,e^{2}=\frac{1}{96}\,e^{2}\approx 0{,}0769693363.
Arredondando como na solução:
\left|E_{T}\right|\le 0{,}07696.
Note que a cota teórica é uma garantia superior; o erro real que calculamos no Passo 7 ( \approx 0{,}03291) é menor, como esperado.

Resposta

\displaystyle 6{,}4222
\displaystyle \left|E_{T}\right|\le 0{,}07696

Exercícios relacionados