Use a Regra da Substituição para calcular:
\int_{0}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1}3x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx
usando a Regra da Substituição, que nos permite transformar uma integral em x numa integral em u quando reconhecemos parte da derivada de u dentro do integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3}+1.
Diferenciando, obtemos
du = 3x^{2}\,dx,
ou seja, 3x^{2}\,dx = du.

Passo 3

Precisamos também transformar os limites de integração:
quando x=0, u=0^{3}+1=1;
quando x=1, u=1^{3}+1=2.
Então a integral original fica
\int_{u=1}^{u=2}\sqrt{u}\,du.

Passo 4

Escrevendo \sqrt{u}=u^{1/2} e integrando em u:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Aplicando os limites de 1 a 2:
\frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr) = \frac{4\sqrt{2}-2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\sqrt{2}-2}{3}

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