Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=(3 x+1)^{-2}
f(x)=(3 x+1)^{-2}
Passo 1
A questão pede a derivada da função f(x) = (3x + 1)^{-2}. O conteúdo envolvido é a regra da potência e a regra da cadeia para derivação de funções compostas.
Passo 2
Identificamos a função interna u(x) = 3x + 1 e a externa como sendo u⁻². Pela regra da potência, se temos h(u) = u^n, então h’(u) = n·u^{n-1}.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia: f’(x) = (d/du)[u^{-2}]·(du/dx). Primeiro, (d/du)[u^{-2}] = -2·u^{-3}.
Passo 4
Agora derivamos u(x): du/dx = d/dx(3x + 1) = 3.
Passo 5
Multiplicamos os dois resultados da regra da cadeia: f’(x) = (-2·u^{-3}) · 3 = -6·u^{-3}.
Passo 6
Substituímos u = 3x + 1 de volta: f’(x) = -6·(3x + 1)^{-3}.
Resposta
f’(x) = -6,(3x + 1)^{-3}