Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=(3 x+1)^{-2}

Passo 1

A questão pede a derivada da função f(x) = (3x + 1)^{-2}. O conteúdo envolvido é a regra da potência e a regra da cadeia para derivação de funções compostas.

Passo 2

Identificamos a função interna u(x) = 3x + 1 e a externa como sendo u⁻². Pela regra da potência, se temos h(u) = u^n, então h’(u) = n·u^{n-1}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: f’(x) = (d/du)[u^{-2}]·(du/dx). Primeiro, (d/du)[u^{-2}] = -2·u^{-3}.

Passo 4

Agora derivamos u(x): du/dx = d/dx(3x + 1) = 3.

Passo 5

Multiplicamos os dois resultados da regra da cadeia: f’(x) = (-2·u^{-3}) · 3 = -6·u^{-3}.

Passo 6

Substituímos u = 3x + 1 de volta: f’(x) = -6·(3x + 1)^{-3}.

Resposta

f’(x) = -6,(3x + 1)^{-3}

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