Use as regras do produto e do quociente para determinar f^prime.
f(x)=(2 raizx+1)(2-xx^2+3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(2raizx+1r),2 - xx^2 + 3x,
Aqui vamos usar a regra do produto para diferenciar l(2raizx+1r) vezes tfrac2-xx^2+3x e, dentro disso, a regra do quociente para derivar tfrac2-xx^2+3x.

Passo 2

Calcular a derivada do primeiro fator
g(x) = 2raizx + 1 = 2x^1/2 + 1
Aplicando a regra do poder,
g'(x) = 2cdottfrac12 x^-1/2 + 0 = x^-1/2 = 1raizx

Passo 3

Calcular a derivada do segundo fator
h(x) = 2 - xx^2 + 3x
Pela regra do quociente,
h'(x) = (2 - x)' ,(x^2+3x);-;(2 - x),(x^2+3x)'(x^2+3x)^2 = -1,(x^2+3x);-;(2 - x),(2x+3)(x^2+3x)^2
Expandindo o numerador:
-,x^2-3x ;-;l[(2-x)(2x+3)r] = -x^2-3x ;-;l(-2x^2+x+6r) = x^2-4x-6
Portanto
h'(x) = x^2 - 4x - 6(x^2 + 3x)^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x) = g'(x),h(x);+;g(x),h'(x)
Substituindo g,g',h,h':
f'(x) = 1raizx;cdot;2-xx^2+3x ;+;(2raizx+1);cdot;x^2-4x-6(x^2+3x)^2

Resposta

boxed f'(x) = 1raizx;2-xx^2+3x ;+;(2raizx+1);x^2-4x-6(x^2+3x)^2

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