Use as relações para avaliar as seguintes integrais envolvendo a função delta de Dirac:
\int_{0}^{\pi} \sin (3 x) \cos ^{2}(4 x) \delta(x-\pi / 2) d x.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int_{0}^{\pi} \sin(3x)\,\cos^{2}(4x)\,\delta\!\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x)=\sin(3x)\cos^{2}(4x).
  • A distribuição delta de Dirac aparece como \delta\!\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right).
  • O intervalo de integração é [0,\pi].
    O que se pede: calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Explicação didática da propriedade-chave (propriedade de “amostragem” ou “sifting” da delta):
Se f é uma função suficientemente regular e x_0 pertence ao intervalo de integração [a,b], então vale
\int_{a}^{b} f(x)\,\delta(x-x_0)\,dx = f(x_0).
Se x_0 não pertence a [a,b], a integral vale 0.
Isto ocorre porque a delta de Dirac é nula para todo x\neq x_0 e concentra toda a “massa” no ponto x_0, de forma que a integral só “vê” o valor de f nesse ponto.

Passo 3

Verificação do ponto onde a delta está centrada: aqui x_0=\dfrac{\pi}{2}. Como \dfrac{\pi}{2}\in[0,\pi], podemos aplicar diretamente a propriedade de amostragem:
\int_{0}^{\pi} \sin(3x)\cos^{2}(4x)\,\delta\!\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\,dx = \sin\!\left(3\cdot\frac{\pi}{2}\right)\, \cos^{2}\!\left(4\cdot\frac{\pi}{2}\right).

Passo 4

Agora calcular os valores trigonométricos:
  • Calcular 3\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}. No círculo trigonométrico \sin\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-1.
  • Calcular 4\cdot\dfrac{\pi}{2}=2\pi. Tem-se \cos(2\pi)=1, logo \cos^{2}(2\pi)=1^{2}=1.
Breve lembrete: \sin e \cos em múltiplos notáveis do círculo unitário são avaliados lembrando posições (por exemplo, \dfrac{3\pi}{2} aponta para baixo, daí \sin=-1; 2\pi volta ao ponto inicial, \cos=1).

Passo 5

Multiplicando os resultados:
\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos^{2}\!(2\pi)=(-1)\cdot 1 = -1.
Portanto a integral vale -1.

Resposta

-1

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