Use as relações para avaliar as seguintes integrais envolvendo a função delta de Dirac:
.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A distribuição delta de Dirac aparece como
. - O intervalo de integração é
.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Explicação didática da propriedade-chave (propriedade de “amostragem” ou “sifting” da delta):
Se é uma função suficientemente regular e
pertence ao intervalo de integração
, então vale
Se
Se
não pertence a
, a integral vale
.
Isto ocorre porque a delta de Dirac é nula para todo e concentra toda a “massa” no ponto
, de forma que a integral só “vê” o valor de
nesse ponto.
Isto ocorre porque a delta de Dirac é nula para todo
Passo 3
Verificação do ponto onde a delta está centrada: aqui
. Como
, podemos aplicar diretamente a propriedade de amostragem:
Passo 4
Agora calcular os valores trigonométricos:
- Calcular
. No círculo trigonométrico . - Calcular
. Tem-se , logo .
Breve lembrete:
e
em múltiplos notáveis do círculo unitário são avaliados lembrando posições (por exemplo,
aponta para baixo, daí
;
volta ao ponto inicial,
).
Passo 5
Multiplicando os resultados:
Portanto a integral vale
.