Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere
.
Passo 1
A integral dada é uma integral imprópria de $-infty) até
. O conteúdo aqui é o método de integração via resíduos em análise complexa; vamos precisar definir um contorno adequado no semiplano superior e usar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Escolhemos o contorno formado pela reta real de $-R$ até $+R$ mais o semicírculo
. Pela estimativa de Jordan, mostra-se que o integral sobre
tende a zero quando $R\to\infty$. Logo,
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4+1} = \\lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} \frac{dx}{x^4+1} = \int_{\Gamma} \frac{dz}{z^4+1}
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4+1} = \\lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} \frac{dx}{x^4+1} = \int_{\Gamma} \frac{dz}{z^4+1}
$$
onde
é o contorno completo.
Passo 3
No semiplano superior, os polos de $f(z)=1/(z^4+1)$ são as raízes de $z^4=-1$, i.e.
$$
z_1=e^{i\pi/4},\quad z_2=e^{3i\pi/4}.
$$
z_1=e^{i\pi/4},\quad z_2=e^{3i\pi/4}.
$$
Como são polos simples, o resíduo em cada um é
$$
\mathrm{Res}(f,z_k)=
\frac{1}{4z_k^3},
$$
\mathrm{Res}(f,z_k)=
\frac{1}{4z_k^3},
$$
pois deriva-se o denominador $g(z)=z^4+1$ e usa-se $g’(z_k)=4z_k^3$. Então
$$
\mathrm{Res}(f,z_1)=\frac{1}{4e^{3i\pi/4}},\quad
\mathrm{Res}(f,z_2)=\frac{1}{4e{9i\pi/4}}=\frac{1}{4e{i\pi/4}}.
$$
\mathrm{Res}(f,z_1)=\frac{1}{4e^{3i\pi/4}},\quad
\mathrm{Res}(f,z_2)=\frac{1}{4e{9i\pi/4}}=\frac{1}{4e{i\pi/4}}.
$$
Somando, obtém-se
$$
\sum_{k=1}^2 \mathrm{Res}(f,z_k)=\frac{e{-3i\pi/4}+e{-i\pi/4}}{4}=-\frac{i\sqrt2}{4}.
$$
\sum_{k=1}^2 \mathrm{Res}(f,z_k)=\frac{e{-3i\pi/4}+e{-i\pi/4}}{4}=-\frac{i\sqrt2}{4}.
$$
Passo 4
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4+1} = 2\pi i \\biggl( -\frac{i\sqrt2}{4} \\biggr) = \frac{2\pi\sqrt2}{4} = \frac{\pi}{\sqrt2}.
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4+1} = 2\pi i \\biggl( -\frac{i\sqrt2}{4} \\biggr) = \frac{2\pi\sqrt2}{4} = \frac{\pi}{\sqrt2}.
$$
Resposta
$\frac{\pi}{\sqrt2}$