Use as sequências das somas parciais para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
Note que o termo
é
indeterminado, então na prática a soma começa em
. O conteúdo envolvido é a convergência de séries telescópicas usando frações parciais. Vamos usar as somas parciais
e depois passar ao limite
.
Passo 2
Decompondo em frações parciais temos, para
:
Igualando numeradores:
Para
vem
. Para
vem
.
Logo
Logo
Passo 3
Escrevendo a soma parcial
Separe em duas somas:
Passo 4
Reindexando a primeira soma por
vai de
a
, e a segunda soma por
vai de
a
. Assim
Cancelam-se os termos de
a
, sobrando
Passo 5
Fazendo
temos
. Logo