Use as sequências das somas parciais para mostrar que
sumn=1^infty 2n^2-1=32

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty2n^2-1=32
Note que o termo n=1 é 2/(1-1)= indeterminado, então na prática a soma começa em n=2. O conteúdo envolvido é a convergência de séries telescópicas usando frações parciais. Vamos usar as somas parciais SN=sumn=2^N2/(n^2-1) e depois passar ao limite Ntoinfty.

Passo 2

Decompondo em frações parciais temos, para n>=2:
2n^2-1=2(n-1)(n+1) =An-1+Bn+1
Igualando numeradores:
2 = A(n+1)+B(n-1)
Para n=1 vem 2 = 2Aimplies A=1. Para n=-1 vem 2 = -2Bimplies B=-1.
Logo
2n^2-1 =1n-1-1n+1

Passo 3

Escrevendo a soma parcial
SN=sumn=2^Nl(1n-1-1n+1r)
Separe em duas somas:
SN=sumn=2^N1n-1;-;sumn=2^N1n+1

Passo 4

Reindexando a primeira soma por k=n-1 vai de k=1 a k=N-1, e a segunda soma por j=n+1 vai de j=3 a j=N+1. Assim
SN=l(1+tfrac12+tfrac13+cdots+tfrac1N-1r) -l(tfrac13+tfrac14+cdots+tfrac1N+1r)
Cancelam-se os termos de tfrac13 a tfrac1N-1, sobrando
SN =1+tfrac12-1N-1N+1 =32-l(1N+1N+1r)

Passo 5

Fazendo Ntoinfty temos tfrac1N+tfrac1N+1to0. Logo
sumn=2^infty2n^2-1 =limNtoinftySN =32

Resposta

sumn=1^infty2n^2-1=32

Exercícios relacionados