Use as sequências das somas parciais para mostrar que
sumn=1^infty 1(a+n)(a+n+1)=1a+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty1(a+n)(a+n+1)
converge e que seu valor é tfrac1a+1. O conteúdo aqui é série telescópica, onde usamos frações parciais para obter as somas parciais e depois tomamos o limite.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais do termo genérico:
1(a+n)(a+n+1) =Aa+n+Ba+n+1
Multiplicando por (a+n)(a+n+1) resulta
1 = A(a+n+1)+B(a+n)
Para n genérico, igualando coeficientes, obtemos A=1 e B=-1. Logo,
1(a+n)(a+n+1) =1a+n-1a+n+1

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N1(a+n)(a+n+1) = sumn=1^Nl(1a+n-1a+n+1r)
Por telescoping, quase todos os termos se cancelam, sobrando
SN = 1a+1 - 1a+N+1

Passo 4

Para obter a soma da série, tomamos o limite quando Ntoinfty. Como
limNtoinfty1a+N+1 = 0,
segue
sumn=1^infty1(a+n)(a+n+1) = limNtoinftySN = 1a+1

Resposta

sumn=1^infty1(a+n)(a+n+1) = 1a+1

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