Use as sequências das somas parciais para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge e que seu valor é
. O conteúdo aqui é série telescópica, onde usamos frações parciais para obter as somas parciais e depois tomamos o limite.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais do termo genérico:
Multiplicando por
resulta
Para
genérico, igualando coeficientes, obtemos
e
. Logo,
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Por telescoping, quase todos os termos se cancelam, sobrando
Passo 4
Para obter a soma da série, tomamos o limite quando
. Como
segue