Use as sequências das somas parciais para mostrar que
sumn=2^infty n-1n!=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
sumn=2^infty n-1n! = 1
usando a sequência de somas parciais. O conteúdo aqui é séries infinitas e, em particular, soma telescópica via somas parciais.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral
an = n-1n!
Reescrevendo em função de fatoriais vizinhos, notamos que
n-1n! = nn! - 1n! = 1(n-1)! - 1n!

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=2^N n-1n! = sumn=2^N l(1(n-1)! - 1n!r)

Passo 4

Ao expandir a soma telescópica, os termos intermediários cancelam:
SN &= l(tfrac11!-tfrac12!r) +l(tfrac12!-tfrac13!r) +cdots +l(tfrac1(N-1)!-tfrac1N!r) &= 11!-1N! = 1 - 1N!

Passo 5

Tomando o limite Ntoinfty, como limNtoinftytfrac1N!=0, temos
sumn=2^infty n-1n! = limNtoinftySN = 1

Resposta

1

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