Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existir.
\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7};

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}
usando simplificação algébrica. O conteúdo aqui é manipular expressões com raízes promovendo cancelamentos que facilitem avaliar o comportamento para x grande.

Passo 2

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pela sua conjugada \sqrt{x+2}+3:
\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7} = \frac{(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)} = \frac{x+2 - 9}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}.

Passo 3

No numerador temos x+2-9 = x-7, que cancela com o fator x-7 do denominador:
\frac{x-7}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)} = \frac{1}{\sqrt{x+2}+3}.

Passo 4

Agora basta avaliar o limite de
\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}
quando x\to\infty. Como \sqrt{x+2}\to\infty, o denominador cresce sem limite, e o quociente tende a zero.

Resposta

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