Use a soma de vetores e multiplicação por escalar para vetores no
junto com as propriedades dos números reais para provar as seguintes propriedades de vetores:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade
para vetores em
, usando a definição de soma de vetores e as propriedades dos números reais. As informações dadas ou que usaremos explicitamente são:
- A soma entre vetores em
é definida componente a componente: se e então
- A igualdade entre vetores em
significa igualdade componente a componente: dois vetores são iguais sii todas as suas componentes correspondentes são iguais. - Nos números reais
vale a propriedade associativa da adição: para quaisquer tem-se
Nenhuma outra informação será assumida implicitamente.
Passo 2
Vamos começar introduzindo notação clara para os três vetores que aparecem na propriedade. Tome
onde cada
é um número real para
. Essa escrita apenas expõe as componentes, nada mais.
Passo 3
Calculemos a expressão do lado esquerdo componente a componente aplicando a definição de soma de vetores:
Agora some esse vetor com
:
Isto segue diretamente da definição: cada componente do resultado é a soma das componentes correspondentes.
Passo 4
Use a associatividade da adição em
em cada componente. Para cada índice
com
vale
porque
são números reais e a adição em
é associativa. Aplicando isso a todas as componentes obtemos:
Passo 5
Reescrevendo a última tupla pela definição de soma de vetores, observamos que para cada
então
Comparando com o resultado do Passo 4, vemos que as componentes correspondentes de
e
são iguais.
Passo 6
Como dois vetores em
são iguais exatamente quando todas as suas componentes correspondentes são iguais, a igualdade componente a componente mostrada no Passo 5 implica a igualdade dos vetores:
Portanto a propriedade associativa da soma vetorial em
está provada.