Use a soma de vetores e multiplicação por escalar para vetores no \mathbb{R}^{n} junto com as propriedades dos números reais para provar as seguintes propriedades de vetores:
b) (x+y)+z=x+(y+z)

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade
(x+y)+z = x+(y+z)
para vetores em \mathbb{R}^{n}, usando a definição de soma de vetores e as propriedades dos números reais. As informações dadas ou que usaremos explicitamente são:
  • A soma entre vetores em \mathbb{R}^{n} é definida componente a componente: se x=(x_1,x_2,\dots,x_n) e y=(y_1,y_2,\dots,y_n) então
x+y=(x_1+y_1,\;x_2+y_2,\;\dots,\;x_n+y_n).
  • A igualdade entre vetores em \mathbb{R}^{n} significa igualdade componente a componente: dois vetores são iguais sii todas as suas componentes correspondentes são iguais.
  • Nos números reais \mathbb{R} vale a propriedade associativa da adição: para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R} tem-se
(a+b)+c = a+(b+c).
Nenhuma outra informação será assumida implicitamente.

Passo 2

Vamos começar introduzindo notação clara para os três vetores que aparecem na propriedade. Tome
x=(x_1,x_2,\dots,x_n),\qquad y=(y_1,y_2,\dots,y_n),\qquad z=(z_1,z_2,\dots,z_n),
onde cada x_i,y_i,z_i é um número real para i=1,2,\dots,n. Essa escrita apenas expõe as componentes, nada mais.

Passo 3

Calculemos a expressão do lado esquerdo componente a componente aplicando a definição de soma de vetores:
x+y=(x_1+y_1,\;x_2+y_2,\;\dots,\;x_n+y_n).
Agora some esse vetor com z:
(x+y)+z = \big((x_1+y_1)+z_1,\; (x_2+y_2)+z_2,\; \dots,\; (x_n+y_n)+z_n\big).
Isto segue diretamente da definição: cada componente do resultado é a soma das componentes correspondentes.

Passo 4

Use a associatividade da adição em \mathbb{R} em cada componente. Para cada índice i com 1\le i\le n vale
(x_i+y_i)+z_i = x_i+(y_i+z_i),
porque x_i,y_i,z_i são números reais e a adição em \mathbb{R} é associativa. Aplicando isso a todas as componentes obtemos:
\big((x_1+y_1)+z_1,\; \dots,\; (x_n+y_n)+z_n\big) = \big(x_1+(y_1+z_1),\; \dots,\; x_n+(y_n+z_n)\big).

Passo 5

Reescrevendo a última tupla pela definição de soma de vetores, observamos que para cada i
y+z = (y_1+z_1,\;y_2+z_2,\;\dots,\;y_n+z_n),
então
x+(y+z) = \big(x_1+(y_1+z_1),\; x_2+(y_2+z_2),\; \dots,\; x_n+(y_n+z_n)\big).
Comparando com o resultado do Passo 4, vemos que as componentes correspondentes de (x+y)+z e x+(y+z) são iguais.

Passo 6

Como dois vetores em \mathbb{R}^{n} são iguais exatamente quando todas as suas componentes correspondentes são iguais, a igualdade componente a componente mostrada no Passo 5 implica a igualdade dos vetores:
(x+y)+z = x+(y+z).
Portanto a propriedade associativa da soma vetorial em \mathbb{R}^{n} está provada.

Resposta

(x+y)+z = x+(y+z)

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