Use uma substituição para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral.
integral0^pi sen^2(x4) cos (x4) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida integral0^pi sin^2(x4) cos (x4) dx usando uma substituição para achar uma primitiva e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar dominar a técnica de substituição em integrais e entender como aplicar o teorema para calcular o valor final da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral que temos:
integral0^pi sin^2(x4) cos (x4) dx
Aqui, vemos que temos sin^2(x4) multiplicado por cos (x4). Isso sugere que podemos usar uma substituição onde a parte complicada ( sin) seja substituída por uma variável mais simples. Vamos definir:
u = sin(x4)

Passo 3

Com nossa substituição u = sin(x4), precisamos encontrar a expressão para du. Derivando ambos os lados em relação a x:
du = ddx sin(x4) dx = 14 cos(x4) dx
Queremos expressar cos(x4) dx em termos de du, então rearranjamos:
cos(x4) dx = 4, du

Passo 4

Agora, vamos substituir u e du na integral original. Também precisamos ajustar os limites de integração para a variável u:
  • Quando x = 0:
u = sin(04) = sin(0) = 0
  • Quando x = pi:
u = sin(pi4) = sin(pi4) = raiz22
Substituindo na integral:
integral0^pi sin^2(x4) cos (x4) dx = integral0^raiz22 u^2 cdot 4, du

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples para resolver:
4 integral0^raiz22 u^2 du
Vamos integrar u^2 em relação a u:
integral u^2 du = u^33 + C
Então, a integral se torna:
4 [ u^33 ]0^raiz22

Passo 6

Finalmente, aplicamos os limites de integração:
4 ( (raiz22)^33 - 0^33 )
Calculando passo a passo:
  1. Calculando (raiz22)^3:
(raiz22)^3 = (raiz2)^32^3 = 2raiz28 = raiz24
  1. Substituindo de volta:
4 ( raiz243 ) = 4 cdot raiz212 = 4raiz212 = raiz23

Resposta

O valor da integral é dfracraiz23.

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