Use substituição nas integrais definidas abaixo para calculá-las.
\int_{0}^{\pi / 6} 2 \cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/6} 2\cos(3x)\,dx
Usaremos o método de substituição, que consiste em trocar a variável x por uma nova variável u de forma que a integral fique mais simples de resolver.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3x.
Diferenciando, temos
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Precisamos também transformar os limites de integração:
  • Quando x=0, u=3\cdot0=0.
  • Quando x=\pi/6, u=3\cdot(\pi/6)=\pi/2.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int_{0}^{\pi/6} 2\cos(3x)\,dx = \int_{u=0}^{u=\pi/2} 2\cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{2}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos(u)\,du.

Passo 4

Calculemos a integral de \cos(u):
\int\cos(u)\,du = \sin(u).
Assim,
\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos(u)\,du = \frac{2}{3}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{2}{3}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2}) - \sin(0)\bigr) = \frac{2}{3}(1 - 0) = \frac{2}{3}.

Resposta

\frac{2}{3}

Exercícios relacionados