Use uma substituição trigonométrica adequada para determinar as seguintes integrais
integral (9+x^2)^2x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral (9+x^2)^2x^3,dx
usando substituição trigonométrica. Aqui vamos usar a identidade 1+tan^2theta=sec^2theta, escolhendo x=3tantheta, de modo a transformar 9+x^2 em múltiplo de sec^2theta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 3tantheta, dx = 3sec^2theta,dtheta,
temos
9+x^2 = 9(1+tan^2theta)=9sec^2theta,
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(9+x^2)^2=81sec^4theta, x^3=27tan^3theta
Substituindo em integral(9+x^2)^2x^3,dx
integral 81sec^4theta27tan^3thetacdot 3sec^2theta,dtheta =9integralsec^6thetatan^3theta,dtheta

Passo 3

Usamos sec^2theta=1+tan^2theta para escrever
sec^6thetatan^3theta =(1+tan^2theta)^3tan^3theta =cot^3theta+3cottheta+3tantheta+tan^3theta
Então a integral fica
9integrall(cot^3theta+3cottheta+3tantheta+tan^3thetar),dtheta

Passo 4

Integramos termo a termo, usando fórmulas conhecidas:
integralcot^3theta,dtheta =-tfrac12csc^2theta-lnl|sinthetar|, integralcottheta,dtheta =lnl|sinthetar|,
integraltantheta,dtheta =-lnl|costhetar|, integraltan^3theta,dtheta =tfrac12sec^2theta+lnl|costhetar|
Somando tudo e multiplicando por 9 resulta
-,92csc^2theta+92sec^2theta +18lnl|tanthetar|+C

Passo 5

Voltando a x:
tantheta=tfracx3,
sec^2theta=1+tan^2theta=tfracx^2+99,
csc^2theta=1sin^2theta=x^2+9x^2.
Substituindo e simplificando absorvendo constantes em C
x^22+18lnl|xr|-812x^2+C

Resposta

integral (9+x^2)^2x^3,dx =x^22+18lnl|xr|-812x^2+C

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