Use substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais indefinidas.
\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-9}}\'

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-9}}
usando substituição trigonométrica. Este tipo de integral envolve expressões da forma \sqrt{x^{2}-a^{2}}, e a substituição padrão é
x = a\,\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 3\,\operatorname{sec}\theta.
Então
dx = 3\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta
e
\sqrt{x^{2}-9} = \sqrt{9\,\operatorname{sec}^{2}\theta - 9} = \sqrt{9(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)} = 3\,\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-9}} = \int \frac{3\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta}{3\,\tan\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Retornando à variável x, usamos
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{3}, \quad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}.
Logo,
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x}{3} + \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}\Bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x+\sqrt{x^{2}-9}}{3}\Bigr| = \ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr| - \ln 3.
Como -\ln 3 pode ser absorvido na constante de integração, o resultado final é

Resposta

\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr| + C

Exercícios relacionados