Use uma tabela básica de transformada de Laplace e suas propriedades para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=sen(t)t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=sen(t)t
usando uma tabela básica de transformadas e propriedades. O conteúdo envolve
  1. conhecer a transformada de sen(t),
  2. usar a propriedade que relaciona a divisão por t na função ao integral da transformada original.

Passo 2

Da tabela básica, sabemos que
Lsen(t)(s)=1s^2+1,
válido para Re(s)>0.

Passo 3

A propriedade que vamos usar é: se
F(s)=Lf(t)(s),
então, sob condições adequadas de f,
Llf(t)tr(s) =integrals^inftyF(u),du

Passo 4

Aplicando essa propriedade a f(t)=sen(t), temos
Llsen(t)tr(s) =integrals^infty1u^2+1,du

Passo 5

Para calcular
I(s)=integrals^infty1u^2+1,du,
note que uma primitiva de 1/(u^2+1) é arctan(u). Logo,
I(s)=limRtoinftyl[arctan(u)r]u=s^u=R =pi2-arctan(s)

Passo 6

Portanto, para Re(s)>0,
Llsen(t)tr(s) =pi2-arctan(s)
Como pi2-arctan(s)=arctan!l(tfrac1sr), podemos também escrever
Llsen(t)tr(s) =arctan!l(tfrac1sr)

Resposta

boxedLlsen(t)/tr(s) =pi2-arctan(s) (Re(s)>0),
que é equivalente a arctan(1/s).

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