Use uma tabela básica de transformada de Laplace e suas propriedades para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=t e^t dd t sen(2 t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t,e^t,ddtl(sen(2t)r)
O conteúdo será:
  • derivar sen(2t),
  • usar a propriedade de deslocamento Le^atg(t)(s)=G(s-a),
  • usar a propriedade Lt,g(t)(s)=-ddsG(s),
    onde G(s)=Lg(t)(s).

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada:
ddtl(sen(2t)r)=2cos(2t)
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f(t)=t,e^t,2cos(2t)=2,t,e^tcos(2t)

Passo 3

Seja g(t)=cos(2t). Da tabela básica temos
Lg(t)(s)=Lcos(2t)(s)=ss^2+4
Pela propriedade de deslocamento,
Le^tcos(2t)(s) =;G(s-1) =s-1(s-1)^2+4
Em seguida, pela propriedade de multiplicar por t,
Lt,e^tcos(2t)(s) =-dds!l[s-1(s-1)^2+4r]

Passo 4

Vamos derivar por s: defina
H(s)=s-1(s-1)^2+4
Pela regra do quociente,
H'(s) =l[(s-1)^2+4r]cdot1 ;-;(s-1)cdot2(s-1) l[(s-1)^2+4r]^2 =4-(s-1)^2l[(s-1)^2+4r]^2
Portanto
Lt,e^tcos(2t)(s) =-H'(s) =(s-1)^2-4l[(s-1)^2+4r]^2
Multiplicando por 2, que veio de f(t):
Lf(t)(s) =2;(s-1)^2-4l[(s-1)^2+4r]^2

Resposta

boxed L,t,e^t,tfracddtl(sen(2t)r)(s) =2,(s-1)^2-4l[(s-1)^2+4r]^2
Ou, escrevendo em termos de s exposto:
Lf(t)(s) =;2,s^2-2s-3l(s^2-2s+5r)^2

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