Use uma tabela básica de transformada de Laplace e suas propriedades para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=t^2 integral0^t u sen(u) d u

Passo 1

Temos a função
f(t)=t^2integral0^tusen(u),du
e queremos Lf(t)(s).
O conteúdo principal aqui é usar:
  1. A transformada de Laplace de uma integral acumulada
Llintegral0^tg(u),dur(s)=1s,G(s),
onde G(s)=Lg(t)(s).
2. A propriedade de multiplicação por t^n
Lt^ng(t)(s)=(-1)^nd^nds^nG(s)

Passo 2

Definimos
G1(t)=integral0^tusen(u),du
e note que
f(t)=t^2G1(t)
Para usar a segunda propriedade, precisamos primeiro achar
LG1(t)(s).

Passo 3

Chamando g(u)=usen(u), sabemos da tabela básica que
Lusen(u)(s) =2s(s^2+1)^2
Então, pela propriedade da integral acumulada,
LG1(t)(s) =Llintegral0^tusen(u),dur(s) =1s,2s(s^2+1)^2 =2(s^2+1)^2

Passo 4

Agora aplicamos Lt^2G1(t)(s)=(-1)^2d^2ds^2l[LG1(s)r].
Escrevendo
H(s)=2(s^2+1)^2,
temos
H'(s) =2cdotl(-2r)(s^2+1)^-3cdot2s =-8s,(s^2+1)^-3,
e em seguida
H''(s) =-8ddsl[s,(s^2+1)^-3r] =-8l[(s^2+1)^-3-6s^2(s^2+1)^-4r]
Reunindo em denominador comum (s^2+1)^4:
H''(s) =-8(s^2+1)-6s^2(s^2+1)^4 =-81-5s^2(s^2+1)^4 =8,(5s^2-1)(s^2+1)^4

Passo 5

Como Lf(t)(s)=H''(s), concluímos que
boxedL,t^2!integral0^tusen(u),du(s) =8,(5s^2-1)(s^2+1)^4

Resposta

Lf(t)(s) =8,(5s^2-1)(s^2+1)^4

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