Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
log (|y|) com y^prime(x)=a y(x),

Passo 1

Resumo: temos a equação diferencial de primeira ordem separável y'(x)=a,y(x), cujo objetivo é encontrar a solução geral usando separação de variáveis. Vamos precisar lembrar que, ao dividir por y, devemos tratar o caso y=0 separadamente e usar ln|y| para integrar.

Passo 2

Identificação de caso trivial: se y(x)=0 para todo x, então y'=0 e a equação y'=a,y fica 0=acdot0, válida para qualquer a. Logo, y(x)=0 é uma solução.

Passo 3

Separação de variáveis (assumindo y(x)neq0): escrevemos
dydx=a,yLongrightarrow1y,dy=a,dx

Passo 4

Integração dos dois lados:
integral1y,dy=integral a,dx

Passo 5

Aplicando a integral:
ln|y|=a,x+C

Passo 6

Resolvendo para y: remove-se o logaritmo exponenciando:
|y|=e^a,x+C=e^C,e^a,x

Passo 7

Definindo K=e^C (constante não nula) e permitindo sinal negativo, obtemos y(x)=K,e^a,x. Agrupando com o caso trivial y=0, a solução geral é dada por y(x)=C,e^a,x, com CinR.

Resposta

A solução geral é y(x)=C,e^a,x, com CinR.

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