Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
com
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
Passo 1
Resumo: temos a equação diferencial de primeira ordem separável
, cujo objetivo é encontrar a solução geral usando separação de variáveis. Vamos precisar lembrar que, ao dividir por
, devemos tratar o caso
separadamente e usar
para integrar.
Passo 2
Identificação de caso trivial: se
para todo
, então
e a equação
fica
, válida para qualquer
. Logo,
é uma solução.
Passo 3
Separação de variáveis (assumindo
): escrevemos
Passo 4
Integração dos dois lados:
Passo 5
Aplicando a integral:
Passo 6
Resolvendo para
: remove-se o logaritmo exponenciando:
Passo 7
Definindo
(constante não nula) e permitindo sinal negativo, obtemos
. Agrupando com o caso trivial
, a solução geral é dada por
, com
.
Resposta
A solução geral é
, com
.