Verifique se llx^3 y^3x^12+y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) é contínua.

Passo 1

A questão apresenta a função de duas variáveis f:R^2toR dada por
f(x,y)= dfracx^3y^3x^12+y^4,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis. Pra testar continuidade, a gente verifica primeiro os pontos fora da origem e depois a origem.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos x^12+y^4>0, então f(x,y) é quociente de polinômios com denominador não nulo. Logo, por ser combinação de funções contínuas (polinômios e divisão onde o denominador não zera), f é contínua em todo ponto que não seja (0,0).

Passo 3

Falta checar continuidade em (0,0). A gente precisa ver se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
é igual a f(0,0)=0. Se esse limite não existir ou não for zero, f não é contínua na origem.

Passo 4

Para mostrar que o limite não é único, escolhemos o caminho
y=kx^3, kinR
Nesse caso,
x^3y^3=x^3( kx^3)^3=k^3x^12,
y^4=(kx^3)^4=k^4x^12,
logo o denominador fica
x^12+y^4=x^12(1+k^4)
Então
f(x,kx^3)=k^3x^12x^12(1+k^4)=k^31+k^4
Esse valor não depende de x e, ao levar xto0, o limite vale k^3/(1+k^4), que varia conforme k.

Passo 5

Como o limite de f(x,y) ao aproximar-se de (0,0) depende do caminho (isto é, de k) e não coincide sempre com 0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe ou não é igual a f(0,0). Portanto, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em todos os pontos de R^2 com (x,y)neq(0,0) e é descontínua em (0,0).

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