Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a técnica de separação de variáveis. O enunciado nos dá a equação:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a resolver equações onde conseguimos colocar todas as $ y $ de um lado e todas as $ x $ do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar $ y’ $:
Dividindo ambos os lados por $ (1 + e^{x}) , y $:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, multiplicamos ambos os lados por $ y $ e por $ dx $:
Assim, conseguimos termos tudo relacionado a $ y $ de um lado e tudo relacionado a $ x $ do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
No lado direito, temos:
Fazendo uma substituição $ u = 1 + e^{x} $, então $ du = e^{x} dx $. A integral fica:
Passo 5
Igualando as integrais dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
Então:
Passo 7
Substituímos $ C $ na equação geral:
Podemos simplificar a expressão:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: