Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
(1+e^x) y y^prime=e^x ; y(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a técnica de separação de variáveis. O enunciado nos dá a equação:
(1 + e^x) , y , y' = e^x com a condição inicial y(0) = 1 çã
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a resolver equações onde conseguimos colocar todas as $ y $ de um lado e todas as $ x $ do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar $ y’ $:
y'
Dividindo ambos os lados por $ (1 + e^{x}) , y $:
(1 + e^x) , y , dydx = e^x

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, multiplicamos ambos os lados por $ y $ e por $ dx $:
y
Assim, conseguimos termos tudo relacionado a $ y $ de um lado e tudo relacionado a $ x $ do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
integral y , dy = 12 y^2 + C
No lado direito, temos:
integral e^x1 + e^x , dx
Fazendo uma substituição $ u = 1 + e^{x} $, então $ du = e^{x} dx $. A integral fica:
u = 1 + e^x

Passo 5

Igualando as integrais dos dois lados:
12 y^2 = ln(1 + e^x) + C
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
y^2 = 2 ln(1 + e^x) + C

Passo 6

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $. Substituindo $ x = 0 $ e $ y = 1 $:
y(0) = 1
Então:
C

Passo 7

Substituímos $ C $ na equação geral:
C
Podemos simplificar a expressão:
y^2 = 2 ln(1 + e^x) + 1 - 2 ln(2)

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = raiz, 2 ln( 1 + e^x2 ) + 1 ,

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