Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
e^t^2+y^2 y y^prime=t+2 t^3.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial que envolve as variáveis $ t $ e $ y $, e o objetivo é resolver essa equação usando a técnica da separação de variáveis. Isso significa que vamos tentar reorganizar a equação para que todas as expressões com $ y $ fiquem de um lado e todas as com $ t $ fiquem do outro. Para isso, precisamos ter certeza de entender bem as partes da equação e como manipular expressões matemáticas.

Passo 2

A equação que vamos resolver é:
e^t^2+y^2 cdot y cdot y' = t + 2 t^3
Primeiro, vamos lembrar que $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ t $, ou seja, $ y’ = \frac{dy}{dt} $. Vamos reescrever a equação substituindo $ y’ $:
y'

Passo 3

Nosso objetivo é separar as variáveis $ y $ e $ t $. Para isso, vamos rearranjar a equação para isolar $ \frac{dy}{dt} $:
y
Isso ainda está misturando $ y $ e $ t $, então precisamos encontrar uma maneira de separar essas variáveis.

Passo 4

Observamos que o termo $ e{t{2}+y^{2}} $ pode ser reescrito como $ e{t{2}} \cdot e{y{2}} $. Vamos fazer essa separação:
e^t^2+y^2
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por $ y \cdot e{y{2}} $ para isolar os termos de $ dy $ de um lado e os de $ dt $ do outro:
e^t^2 cdot e^y^2

Passo 5

Agora, podemos reescrever a equação de forma a separar as variáveis:
y cdot e^y^2 , dy = t + 2 t^3e^t^2 , dt
Dessa forma, tudo que envolve $ y $ está do lado esquerdo e tudo que envolve $ t $ está do lado direito.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial:
integral y cdot e^y^2 , dy = integral t + 2 t^3e^t^2 , dt

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral do lado esquerdo. Fazendo a substituição $ u = y^{2} $, então $ du = 2 y , dy $ ou $ \frac{du}{2} = y , dy $. A integral fica:
u = y^2

Passo 8

Agora, resolvemos a integral do lado direito. Vamos fazer a substituição $ v = -t^{2} $, então $ dv = -2 t , dt $ ou $ -\frac{dv}{2} = t , dt $. A integral fica:
v = -t^2
Para a primeira integral:
dv = -2 t , dt
Para a segunda integral, fazemos $ w = t^{2} $, $ dw = 2 t , dt $, então:
-dv2 = t , dt
A integral $ \int w e^{-w} , dw $ é conhecida e seu resultado é:
integral t + 2 t^3e^t^2 , dt = integral t e^-t^2 , dt + 2 integral t^3 e^-t^2 , dt

Passo 9

Juntando os resultados das integrais, temos:
12 e^y^2 = -12 e^-t^2 - (t^2 + 1) e^-t^2 + C
Simplificando:
12 e^y^2 = -12 e^-t^2 - t^2 e^-t^2 - e^-t^2 + C
12 e^y^2 = -(12 + t^2 + 1) e^-t^2 + C
12 e^y^2 = -(t^2 + 32) e^-t^2 + C

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
e^y^2 = -2 (t^2 + 32) e^-t^2 + C'
Onde $ C’ = 2C $ é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
e^y^2 = -2 (t^2 + 32) e^-t^2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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