Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial que envolve as variáveis $ t $ e $ y $, e o objetivo é resolver essa equação usando a técnica da separação de variáveis. Isso significa que vamos tentar reorganizar a equação para que todas as expressões com $ y $ fiquem de um lado e todas as com $ t $ fiquem do outro. Para isso, precisamos ter certeza de entender bem as partes da equação e como manipular expressões matemáticas.
Passo 2
A equação que vamos resolver é:
Primeiro, vamos lembrar que $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ t $, ou seja, $ y’ = \frac{dy}{dt} $. Vamos reescrever a equação substituindo $ y’ $:
Passo 3
Nosso objetivo é separar as variáveis $ y $ e $ t $. Para isso, vamos rearranjar a equação para isolar $ \frac{dy}{dt} $:
Isso ainda está misturando $ y $ e $ t $, então precisamos encontrar uma maneira de separar essas variáveis.
Passo 4
Observamos que o termo $ e{t{2}+y^{2}} $ pode ser reescrito como $ e{t{2}} \cdot e{y{2}} $. Vamos fazer essa separação:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por $ y \cdot e{y{2}} $ para isolar os termos de $ dy $ de um lado e os de $ dt $ do outro:
Passo 5
Agora, podemos reescrever a equação de forma a separar as variáveis:
Dessa forma, tudo que envolve $ y $ está do lado esquerdo e tudo que envolve $ t $ está do lado direito.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral do lado esquerdo. Fazendo a substituição $ u = y^{2} $, então $ du = 2 y , dy $ ou $ \frac{du}{2} = y , dy $. A integral fica:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral do lado direito. Vamos fazer a substituição $ v = -t^{2} $, então $ dv = -2 t , dt $ ou $ -\frac{dv}{2} = t , dt $. A integral fica:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, fazemos $ w = t^{2} $, $ dw = 2 t , dt $, então:
A integral $ \int w e^{-w} , dw $ é conhecida e seu resultado é:
Passo 9
Juntando os resultados das integrais, temos:
Simplificando:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde $ C’ = 2C $ é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde $ C $ é a constante de integração.